Feynman-Vortrag Prinzip der kleinsten Wirkung: Taylor-Entwicklung beschönigt?

Seine anfängliche eindimensionale Ableitung von Newtons zweitem Gesetz unter Verwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung ist meines Erachtens ziemlich prägnant und leicht zu lesen. Allerdings blieb ich bei seiner Verwendung der Taylor-Reihenerweiterung hängen, und mir ist dieses Zitat aus seinem Vortrag aufgefallen:

ich habe geschrieben v ' für die Ableitung von v gegenüber X um das Schreiben zu sparen.

So komme ich auf die gleiche Erweiterung für die Potentialfunktion, v :

X = X _ + η

Wobei x der angenäherte Weg ist, den ein klassisches Teilchen nimmt, X _ ist der tatsächliche Pfad, und η ist der Fehler (der am Start- und Endpunkt Null ist). Erweitern der ersten beiden Terme der Taylor-Reihe für V,

v ( η ) C e N T e R e D   Ö N   X _ ≈ v ( X _ ) + v ' ( X _ ) ( η − X _ )

v ( η + X _ ) ≈ v ( X _ ) + v ' ( X _ ) η

Was, keine Überraschung, das Gleiche ist, was in der Vorlesung angemerkt wurde. Ich werde mich nicht darum kümmern, der Mathematik bis zum Endergebnis zu folgen (es ist einfach), aber ich werde bemerken, dass die Ableitung der Potentialfunktion, V, ausgewertet wird X _ zeigt sich im Endergebnis:

M X _ ¨ = − v ' ( X _ )

Und ich habe mir darüber viele Tage (viel zu viele Tage) den Kopf gekratzt. Die ursprüngliche Potentialfunktion hätte mit Argument sein sollen η , zentriert auf dem tatsächlichen Pfad, X _ . Dies widerspricht meiner Vorstellung, dass das Potentialfunktional nur von einer Position im realen Raum abhängig sein sollte. Dies impliziert stark, dass

M X _ ¨ = − D v D η | η = X _

Offenlegung einer Kraftfunktion wie folgt:

F = − D v D η | η = X _

Kann jemand erklären, was das bedeutet? Warum wäre die Kraftfunktion proportional zur Ableitung der Potentialfunktion in Bezug auf den Fehler im Weg im Vergleich zum tatsächlich zurückgelegten Weg?

↑ Verknüpfung?
Ich denke, Ihre Notation ist möglicherweise rückwärts - normalerweise sagt man, dass der ungefähre Pfad X ist die Summe des wahren Weges X _ und ein Fehlerterm η .
J. Murray – Sie haben Recht, ich habe die Notation rückwärts geschrieben. Ich überprüfe das, aber ich glaube nicht, dass es die Mathematik ändert. Die Potentialfunktion muss immer noch eine Funktion des Fehlers sein, damit die Taylorentwicklung korrekt ausfällt

Antworten (1)

Dies ist einer der Orte, an denen eine fast universell hilfreiche Notation Sie stolpern lassen kann.

v ist eine Funktion. Es frisst eine einzelne reelle Zahl und spuckt dann eine andere reelle Zahl aus. Infolgedessen können Sie es nur in Bezug auf eine Sache und nur eine Sache differenzieren - sein Argument. Das Ergebnis ist eine weitere Funktion, der wir den entsprechenden Namen geben v ' .

v ( X _ + η ) ist eine Zahl - genauer gesagt die Zahl, die v spuckt aus, wenn du ihm die Nummer fütterst X _ + η . Wenn v ausreichend brav ist und η hinreichend klein ist, sagt uns der Satz von Taylor v ( X _ + η ) kann wie folgt angenähert werden:

v ( X _ + η ) ≈ v ( X _ ) + v ' ( X _ ) ⋅ η

In Worten,

Die Funktion v an der Zahl ausgewertet X _ + η ist ungefähr gleich der Funktion v an der Zahl ausgewertet X _ , Plus η mal die Funktion v ' an der Zahl ausgewertet X _ .

Hoffentlich kommt das nicht zu mathematisch und pedantisch rüber – der Punkt, den ich zu vermitteln versuche, ist, dass Sie sich selbst durch das Schreiben verwirren D v D η | η = X _ . Es macht keinen Sinn, von Differenzierung zu sprechen v in Bezug auf etwas anderes als sein Argument. In diesem Ausdruck η ist im Wesentlichen eine Dummy-Variable - es bedeutet genau dasselbe wie D v D j | j = X _ oder D v D ⋆ | ⋆ = X _ .

Es braucht keine Entschuldigung dafür, pedantisch zu sein. Meine ursprüngliche Frage ist auch mathematisch pedantisch. Wie ist η eine Dummy-Variable? Aus der Erweiterung geht hervor, dass V eine Potenzfunktion ist, deren Hauptargument ist η , wobei die Funktion in der Nähe zentriert wird X _ . v ( η + X _ ) ist genau diese Funktion mit einem verschobenen Eingang. NEIN?
Edit: Formatierung. Das tut mir leid
Meine Bemerkung bzgl η eine Dummy-Variable zu sein bezog sich auf die Notation D v D η | η = X _ . Ich glaube, Sie werden durch die verwirrt D ∙ D ∙ Notation für Derivate; Wenn Sie nur die "gestrichene" Notation verwenden, verdunstet der Kern Ihrer Frage. Das findest du M X ¨ _ = − v ' ( X _ ) , was vollkommen klar ist, weil wir definieren v in erster Linie eine solche Funktion sein − v ' = F (Kraft ist die negative Ableitung der potentiellen Energie).
Nach meinem Verständnis der Taylorentwicklung v ' ( X _ ) ist nicht "die Ableitung von V, die zu einer Funktion von führt X _ ", sondern "die Ableitung von V (bezüglich etwas ) bei Argument = ausgewertet X _ . Das ist der Kern meines Problems hier. Ich versuche übrigens nicht, die Notation zu missbrauchen, ich versuche zu verstehen, mit welcher Variablen wir die Ableitung von V nehmen. Ist es x? Ist es X _ ? η ? Die Intuition sagt uns die Antwort, aber ich möchte, dass sie in der Mathematik bestätigt wird.
Anscheinend habe ich nicht genug Reputation für Chat ... Was ich für einen Fehler halte, weil ich hier auf Physics SE 74 habe.
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