Ich möchte die Diskussion von meinem vorherigen Beitrag über die Zeitabhängigkeit der Lagrangefunktion fortsetzen. Zeitabhängigkeit der Lagrangefunktion eines freien Teilchens? . Ich habe auch diesen alten Beitrag gelesen Warum funktioniert die Variationsrechnung?
Ich glaube, ich verstehe, wie Lagrange aus Sicht der Variationsrechnung Position und Geschwindigkeit als unabhängige Variablen behandelt. Ich denke, die Geschwindigkeit befasst sich nur mit "Positionsänderungen" und nicht mit der Position selbst, und daher sollte meine Intuition einer der Gründe sein, warum wir Position und Geschwindigkeit auch aus physikalischer Sicht als unabhängig behandeln müssen, und nicht nur deshalb, weil die Variationsrechnung Lagrange als Funktion einiger Variablen (x,y,z) behandelt. Sogar die Geschwindigkeitsänderung bezieht sich nur auf die Positionsänderung in der folgenden Beziehung und nicht auf die Position selbst.
Ich denke also, dass nicht nur die Anfangsbedingungen von Position und Geschwindigkeit unabhängig sind, sondern auch Position und Geschwindigkeit entlang jeder Flugbahn. Ist dies der Grund, warum Lagrangian speziell mit unabhängiger Position und Geschwindigkeit definiert ist? Außerdem bildet die Position einen affinen Raum, und daher macht es für mich keinen Sinn, wie etwas davon abhängig sein kann, es sei denn, wir definieren einen Rahmen (oder Ursprung). Und wir behandeln Lagrange auch als Frame-unabhängig. Ist dies sinnvoll? Ich möchte es hier nur präzisieren. Ich hoffe, dass meine Gedanken mich hier nicht verwirren.
Danke
Du sagst
aber Position und Geschwindigkeit sind auch entlang jeder Trajektorie unabhängig.
Nein, eine Trajektorie ist als gegebene Vektorfunktion definiert woraus folgt . Also, gegeben eine Trajektorie, die Vektorfunktion hängt eindeutig davon ab als sein Derivat.
Vergiss jetzt die Trajektorien. Du hast ein Integral
Hat jemand bis zu diesem Punkt gesagt, dass das Integral über eine präzise Bahn, eine bekannte Bahn, genommen wird? NEIN!
1) Wählen Sie dann eine Zeit aus .
2) Kennen Sie zu diesem Zeitpunkt die Vektorfunktion? ? NEIN! Wählen Sie dann zufällig a .
3) Wissen Sie dafür , Die ? NEIN! An der Stelle , der Vektor kann in welche Richtung auch immer zeigen. Wählen Sie dann einen Vektor aus .
Durch diese drei Auswahlen wählen Sie einen Bahnabschnitt aus, der gerade passiert durch die Stelle ang wird für ein Intervall fortgesetzt in die Richtung .
Sie haben also eine 7-fache Unendlichkeit an Wahlmöglichkeiten für Trajektorien. Also, um es zusammenzufassen, nur wenn Sie eine gut definierte Flugbahn kennen, abhängig waren , und beide an .
Von nun an empfehle ich, in Ihrer Referenz nach der Antwort von Grizzly Adam zu suchen . Sie sehen, dass der Begriff der Trajektorie nicht einmal zu Beginn des Beweises der EL-Gleichung eingeführt wird, sondern erst später.
Über den Rahmen, ja, ist es zumindest in der klassischen Mechanik stillschweigend selbstverständlich, dass wir einen bestimmten Rahmen nehmen. Auf jeden Fall ist es besser, die Dinge klassisch zu verstehen und erst dann zur Relativitätstheorie überzugehen, wenn es nötig ist.
QMechaniker