Lagrange-Mechanik - Kommutativitätsregel ddtδq=δdqdtddtδq=δdqdt\frac{d}{dt}\delta q=\delta \frac{dq}{dt}

Es folgt aus dem Kalkül. Hier ist die Standardmethode, wie dies behandelt wird (ich werde hier nicht explizit auf mathematische Details wie Glättungsannahmen eingehen).

Definition von$\delta q$.

Bei einem parametrisierten Pfad$q:t\mapsto q(t)$, betrachten wir eine Deformation des Pfades, den wir nennen$\hat q:(t, \epsilon)\mapsto \hat q(t,\epsilon)$befriedigend$\hat q(t,0) = q(t)$. Der Parameter$\epsilon$ist der Verformungsparameter. Wir können jetzt die Variation definieren$\delta q$des Weges$q$folgendermaßen:

$$\begin{align} \delta q(t) = \frac{\partial\hat q}{\partial \epsilon}(t,0) \tag{$\star$} \end{align}$$ Um diese Definition zu motivieren, beachten Sie, dass wir Taylor erweitern können $\hat q$in dem $\epsilon$Streit um $\epsilon=0$folgendermaßen: $$\begin{align} \hat q(t,\epsilon) = \hat q(t,0) + \epsilon \frac{\partial\hat q}{\partial\epsilon}(t,0) + O(\epsilon^2) \end{align}$$ die im Lichte der Definition von $\delta q$oben kann umgeschrieben werden als $$\begin{align} \hat q(t,\epsilon) = q(t) + \epsilon\delta q(t) + O(\epsilon^2) \end{align}$$ damit wir erkennen $\delta q(t)$als Taylor-Koeffizient erster Ordnung der Verformung $\hat q$wenn wir den Verformungsparameter erweitern. Beachten Sie, dass einige Autoren in der Physik stattdessen definieren $\delta q$mit einem zusätzlichen Faktor von $\epsilon$auf der rechten Seite von $(\star)$, aber das ist nur eine Frage der Konvention.

Die Kommutativitätseigenschaft.

Jetzt haben wir definiert$\delta q$, sprechen wir die Kommutativität von an$\delta$und$t$-Derivate. Nun, jetzt, wo alles sehr explizit ist, ist das ziemlich einfach. Zuerst müssen wir das beachten$\dot q$ist eine andere Kurve als$q$, also müssen wir seine Variation definieren$\delta\dot q$. Der Standardweg, dies zu tun, besteht darin, diese Variation unter Verwendung der gleichen Verformung zu induzieren$\hat q$. Wir definieren nämlich

$$\begin{align} \delta\dot q(t) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial \epsilon\partial t}(t,0) \tag{$\star\star$} \end{align}$$ dann können wir rechnen $$\begin{align} \frac{d}{dt}\delta q(t) = \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial\hat q}{\partial \epsilon}(t,0)\right) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial t\partial \epsilon}(t,0) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial \epsilon\partial t}(t,0) = \delta\dot q(t) \end{align}$$ was das gewünschte Ergebnis ist.

Fragen zur Natürlichkeit.

In gewisser Weise die Definitionen$(\star)$und$(\star\star)$sind willkürlich, aber nur insofern, als jede Definition immer willkürlich ist, weil wir sie wählen müssen. Sie sind jedoch normal und ziemlich körperlich, wenn Sie mich fragen.

Intuition zu bekommen für$(\star)$, Erwägen$\hat q(t,\epsilon)$, und stellen Sie sich vor, einige zu reparieren$t_*$. Dann wie wir variieren$\epsilon$, erhalten wir eine Kurve$\epsilon\mapsto \hat q(t_*, \epsilon)$. Die Variation$\delta q(t_*)$ist die Ableitung dieser Kurve in Bezug auf$\epsilon$bewertet bei$\epsilon = 0$, mit anderen Worten, es ist sein Tangentenvektor an$\epsilon = 0$(Denken Sie an Geschwindigkeit). Dieser Tangentenvektor sagt uns einfach die "Richtung" in der die ursprüngliche Kurve liegt$q$ändert sich punktuell$t_*$während wir die Verformung darauf anwenden. Siehe das folgende Diagramm (das hoffentlich klarer ist als das, was ich gerade gesagt habe)

Hier ist eine andere Möglichkeit, die Definition zu sehen$(\star)$ist natürlich, was auch zeigt, warum$(\star\star)$ist natürlich. In der klassischen Mechanik betrachten wir oft ein System, das durch eine Aktion beschrieben wird, die das Integral einer lokalen Lagrangefunktion ist;

$$\begin{align} S[q] = \int dt\,L(q(t), \dot q(t), t). \end{align}$$ Nehmen wir nun an, wir wollen bestimmen, was mit passiert $S[q]$wenn wir den Pfad deformieren $q$. Verwendung der Notation $\hat q$von oben für die Verformung, dies läuft auf eine Bewertung hinaus $S[\hat q(\cdot,\epsilon)]$. Lassen Sie uns diese Größe in Epsilon erster Ordnung berechnen. Wir glauben, dass $$\begin{align} S[\hat q(\cdot, \epsilon)] &= \int dt\, L\left(\hat q(t,\epsilon), \frac{\partial\hat q}{\partial t}(t,\epsilon), t\right) \\ &= S[q] +\epsilon \int dt\left[\frac{\partial L}{\partial q}(q(t), \dot q(t), t)\delta q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q(t), \dot q(t), t)\delta \dot q(t)\right] + O(\epsilon^2) \end{align}$$ Ich habe hier einige Schritte übersprungen, aber der Punkt ist, dass die Mengen $\delta q$und $\delta\dot q$die wir definiert haben $(\star)$und $(\star\star)$ergeben sich natürlich im Zusammenhang mit der Variation eines Funktionals des Pfades $q$. Vor allem die Variation von $\dot q$Induziert durch die Variation von $q$wie definiert in $(\star\star)$ist das Objekt, das natürlich entsteht, nicht irgendeine andere unabhängige Variation.

Siehe jedoch die Antwort von Qmechanic unten, in der darauf hingewiesen wird, dass in anderen Kontexten, z. B. bei Verwendung des D'Alembert-Prinzips, die Variationen auftreten$q$und$\dot q$haben möglicherweise nicht genau die gleiche Bedeutung wie in den oben beschriebenen Kontexten, und in diesen Kontexten muss die Kommutativitätsregel nicht gelten.

I) Der Punkt von Lit. 1 ist ähnlich, warum die verallgemeinerten Positionen $q^j$und die verallgemeinerten Geschwindigkeiten$\dot{q}^j$im Lagrange$L(q,\dot{q},t)$sind unabhängige Variablen, siehe zB diesen Phys.SE Beitrag. Eine weniger verwirrende Notation wäre wahrscheinlich die Angabe der verallgemeinerten Geschwindigkeiten$v^j$Anstatt von$\dot{q}^j$.

Ref. 1 bezieht sich auf die nicht kommutative Möglichkeit

$$\tag{1} \delta v^j ~\neq~ \frac{d}{dt}\delta q^j$$

im Kontext des d'Alembertschen Prinzips

$$\tag{2} \sum_{i=1}^N(m_i\ddot{\bf r}_i-{\bf F}^{(a)}_i) \cdot \delta {\bf r}_i~=~0,$$

wo${\bf r}_i$sind die Positionen der$i$'tes Punktteilchen. Hier$\delta q^j$und$\delta v^j$sind unendlich kleine virtuelle Variationen .

Es ist konsequent, eine nicht-kommutative Regel (1) im d'Alembertschen Prinzip (2) zuzulassen. (Tatsächlich hängt das Prinzip von d'Alembert in seiner Grundform (2) nicht von ab$\delta v^j$.)

Das D'Alembertsche Prinzip (2) kann zB zum Beweis der zentralen Lagrange-Gleichung verwendet werden

$$\tag{3} \sum_j\left( \frac{dp_j}{dt} - \frac{\partial T}{\partial q^j}-Q_j \right) \delta q^j~=~0 , \qquad p_j~:=~\frac{\partial T}{\partial v^j},$$

und wiederum Lagrange-Gleichungen , ohne auf das Prinzip der stationären Wirkung zurückzugreifen, vgl. nächster Abschnitt II. Hier$T$ist die kinetische Energie und$Q_j$ist die verallgemeinerte Kraft. Siehe auch zB diese Phys.SE-Antwort. Ref. 1 und 2 schreiben die zentrale Gleichung (3) von Lagrange in die folgende Form um

$$\tag{4} \frac{d}{dt}\sum_j p_j\delta q^j ~=~\underbrace{\delta T}_{\sum_j\left(\frac{\partial T}{\partial q^j}\delta q^j+ p_j~\delta v^j\right)} +\sum_j Q_j~\delta q^j +\sum_j p_j\left[\frac{d}{dt} \delta q^j-\delta v^j\right],$$

siehe Gl. (1.3.39) in Lit. 1 oder Gl. (6.4.11) in Lit. 2. Dieses Formular (4) beinhaltet auch$\delta v^j$.

II) Der obige Abschnitt I sollte dem Aktionsfunktional gegenübergestellt werden

$$\tag{5} S[q] ~:=~ \int_{t_i}^{t_f}dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t)$$

und das Prinzip der stationären Aktion . Hier$q^j:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$ist ein (möglicherweise virtueller) Pfad. Die zeitliche Ableitung$\dot{q}^j\equiv\frac{dq^j}{dt}$kommt auf die funktion an$q^j:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$.

Um Euler-Lagrange-Gleichungen aus dem Prinzip der stationären Wirkung abzuleiten, verwenden wir die Kommutativregel

$$\tag{6} \delta \dot{q}^j ~=~ \frac{d}{dt}\delta q^j$$

in entscheidender Weise. Die Kommutativregel (4) ist in diesem Zusammenhang nicht verhandelbar, sondern folgt direkt aus den einschlägigen Definitionen der infinitesimalen virtuellen Variation

$$\tag{7} \delta q^j~:=~q^{\prime j}-q^j,$$

$$\tag{8} \delta \dot{q}^j~:=~\dot{q}^{\prime j}-\dot{q}^j ~:=~\frac{dq^{\prime j}}{dt}-\frac{dq^j}{dt} ~\stackrel{\text{linearity}}{=}~\frac{d}{dt}(q^{\prime j}-q^j) ~\stackrel{(7)}{=}~\frac{d}{dt}\delta q^j,$$

zwischen zwei benachbarten Pfaden$q^j$und$q^{\prime j}$.

Verweise:

1. BD Vujanovic und TM Atanackovic, Eine Einführung in moderne Variationstechniken in Mechanik und Technik , (2004); S.12.

2. AI Lurie, Analytische Mechanik (Grundlagen der Technischen Mechanik) , (2002); Abschnitt 1.7.