Ableitung von Euler-Lagrange-Gleichungen

Ich studiere die Euler-Lagrange-Gleichungen und habe einige Probleme, ihre Ableitung zu verstehen.

Betrachten Sie einen Pfad$y(x)$wo eine leichte Abweichung vom Pfad gegeben ist

$$Y(x,\epsilon) = y(x) + \epsilon n(x)$$ Wo$\epsilon$ist eine kleine Menge und$n(x)$ist eine beliebige Funktion.

Das zu minimierende Integral ist das Übliche

$$I=\int^{x_2}_{x_1} \phi\left(x,Y,Y'\right)dx,$$ Wo$Y'=\dfrac{\partial Y}{\partial x}.$

In dem Lehrbuch A student's guide to lagrangeians and hamiltonians von Hamill (S. 51) gelangte der Autor zur Minimierung des obigen Integrals zu der Gleichung

$$\left[\frac{\partial \phi}{\partial Y} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\partial \phi}{\partial Y'}\right)\right]_{\epsilon=0} = 0.$$ Er fuhr dann fort zu sagen, dass dies gleichbedeutend mit der Forderung ist $$\frac{\partial \phi}{\partial y} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\partial \phi}{\partial y'}\right) = 0.\tag{2.9}$$

Ich habe Probleme zu erkennen, warum die obigen letzten Gleichungen äquivalent sind. Wie zeigt man, dass sie tatsächlich gleichwertig sind?