Euler-Lagrange-Gleichungen aus einer komplexen Lagrange-Funktion

Wenn Sie eine komplexe Aktion haben, müssen Sie entscheiden, was Sie benötigen, um stationär zu sein. Es kann a) Aktion sein, sofern ihre Amplitude konstant ist; b) Aktion, sofern ihre Phase konstant ist; c) Amplitude der Einwirkung; d) Phase der Handlung; e) Realteil der Aktion usw. In jedem dieser Fälle ist dies gleichbedeutend mit der Forderung, dass eine reale Aktion stationär ist, zum Beispiel im Fall c) können Sie die Aktion gleich der Amplitude der "alten" komplexen Aktion wählen.

Was passiert also, wenn Sie beispielsweise verlangen, dass sowohl die Amplitude als auch die Phase der komplexen Aktion stationär sind? Da jede dieser Anforderungen typischerweise ausreicht, um Bewegungsgleichungen zu erhalten, ergeben diese beiden Anforderungen zusammen typischerweise ein überbestimmtes Gleichungssystem. Es ist jedoch möglich, dass dieses überbestimmte System konsistent und sinnvoll ist, aber ich kann im Moment kein Beispiel bieten.

1. Ein stationäres Aktionsprinzip für eine komplexe Aktion$S_c=S_1+iS_2\in \mathbb{C}$entspricht 2 reellen stationären Wirkprinzipien für Real- und Imaginärteil,$S_1,S_2\in\mathbb{R}$. Mit anderen Worten, die EL-Gleichungen für$S_c$sind genau die EL-Gleichungen für$S_1$und die EL-Gleichungen für$S_2$. Es kann möglich sein, die EL-Gleichungen für zu organisieren$S_c$als komplexe Gleichungen, insbesondere wenn die Lagrange-Funktion holomorph ist.

2. Im Feynman-Pfadintegral$Z$, die Aktion$S$ist real, zumindest in der Minkowskischen Formulierung. Wenn man jedoch die semiklassische Näherung über die Methode des steilsten Abstiegs auswertet , verformt man typischerweise die Integrationskontur in die komplexe Ebene, was zu komplexen Beiträgen führen kann$Z$. Stationäre Punkte in der komplexen Ebene können eine direkte physikalische Interpretation als Lösungen für die (analytisch fortgesetzten) EL-Gleichungen haben oder nicht.