Hamilton-Prinzip - Erreichen von Hamilton-Gleichungen

Question

Hamilton-Prinzip - Erreichen von Hamilton-Gleichungen

Aktion
Physik
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Hamiltonscher Formalismus
Variationsprinzip

Elio Pereira

Betrachten Sie die Aktionsfunktion:

S (T) = \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (Q_{ich}, \dot{Q_{ich}}, T) D T

$\mathcal{S}(t)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}(q_i,\dot{q_i},t) dt$

Wo $\mathcal{L}$ ist die Lagrangedichte des Systems.

Der Hamiltonoperator wird durch den folgenden Ausdruck definiert:

H (Q_{ich}, P_{ich}, T) = \dot{Q_{ich}} P_{ich} - L (Q_{ich}, \dot{Q_{ich}}, T)

$\mathcal{H(q_i,p_i,t)}=\dot{q_i}p_i-\mathcal{L}(q_i,\dot{q_i},t)$

Also haben wir,

S (T) = \int_{T_{1}}^{T_{2}} [\dot{Q_{ich}} P_{ich} - H (Q_{ich}, P_{ich}, T)] D T

$\mathcal{S}(t)=\int_{t_1}^{t_2}\left[\dot{q_i}p_i-\mathcal{H}(q_i,{p_i},t)\right] dt$

Das sagt das Hamilton-Prinzip $\delta\mathcal{S}=0$ .

Also haben wir,

δ S (T) = \int_{T_{1}}^{T_{2}} [δ (\dot{Q_{ich}} P_{ich}) - δ H (Q_{ich}, P_{ich}, T)] D T

$\delta\mathcal{S}(t)=\int_{t_1}^{t_2}\left[\delta(\dot{q_i}p_i)-\delta\mathcal{H}(q_i,{p_i},t)\right] dt$

Ich fand auf Goldstein 3rd Edition , dass sie den nächsten Schritt als betrachteten

δ S (T) = \int_{T_{1}}^{T_{2}} (δ \dot{Q_{ich}} P_{ich} + \dot{Q_{ich}} δ P_{ich} - \frac{\partial H}{\partial Q_{ich}} δ Q_{ich} - \frac{\partial H}{\partial P_{ich}} δ P_{ich}) D T

$\delta\mathcal{S}(t)=\int_{t_1}^{t_2}\left(\delta\dot{q_i}p_i+\dot{q_i}\delta p_i- \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_i}\delta q_i - \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_i}\delta p_i \right)dt$

Haben sie das nicht vermisst $\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial t}\delta t$ Begriff aus $\delta\mathcal{H}$ ?
Noch eine Frage: Stimmt das $\frac{d}{dt}(\delta q_i)=\delta \dot{q_i}$ ?

Antworten (3)

Hamilton-Prinzip - Erreichen von Hamilton-Gleichungen

QMechaniker · Answer 1

Nein, normalerweise gibt es keine Variation der unabhängigen Koordinaten (in diesem Fall: der Zeitkoordinate $t$ ), bei der Ableitung von Euler-Lagrange-Gleichungen. Nur die abhängigen Variablen (in diesem Fall: $q^i(t)$ Und $p_i(t)$ ) sind vielfältig.
Ja, $\frac{d}{dt}(\delta q^i)=\delta \dot{q^i}$ , siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag, der auch Situationen bespricht, in denen dies nicht der Fall ist.

1. ist nur wahr, wenn der Lagrangian oder Hamiltonian nicht explizit von Zeit/welchem Parameter auch immer abhängt.
Die Euler-Lagrange-Gleichungen. (für das letzte Aktionsfunktional von OP) sind immer noch Hamiltons Gleichungen. auch wenn der Hamiltonoperator explizit davon abhängt $t$ .

Paul T. · Answer 2

Die Ableitung sollte auch für zeitabhängige Hamiltonoperatoren funktionieren. Das Problem ist, dass wir keine Variationen der Zeitparametrisierung berücksichtigen, also $\delta t = 0$ .

Da haben Sie recht $\delta \dot q = \frac{d}{dt}\delta q$ . Grundsätzlich ist die Variationsoperation in Bezug auf eine Ableitung definiert, pendelt also mit regulären Ableitungen.

Alte Ausgaben von Goldstein haben ein Kapitel über die Variationsrechnung als mathematisches Werkzeug, getrennt von physikalischen Anwendungen. Wenn dieses Kapitel noch in Ihrer Ausgabe vorhanden ist, möchten Sie es vielleicht überprüfen.

Nur eine Anmerkung, ich glaube nicht, dass Ihre Erklärung zur zweiten Frage vollständig ist. Beide fraglichen Ableitungen sind Gesamtableitungen, und Gesamtableitungen pendeln im Allgemeinen nicht, nur Teilableitungen tun dies notwendigerweise. Es bedarf einer weiteren Begründung dafür, warum gerade diese beiden dies tun.
Wie Sie in Ihrer Antwort sagten, wird die Variation zeitunabhängig parametrisiert, sodass die beiden Ableitungen pendeln. Ich habe die Details weggelassen, weil der Ausbilder in mir hofft, dass OP das für sich selbst beweisen wird.

Ungefähr wahr · Answer 3

BEARBEITEN:

Für den ersten Teil scheint es nach dem Lesen von Goldsteins Ansatz nicht so, als würde er davon ausgehen, dass der Hamiltonian allgemein zeitunabhängig ist, dh $\frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\neq 0$ Im Algemeinen. Da wir jedoch unsere Variation bzgl. des "Pfads" durchführen, macht es keinen Sinn für $t$ Abhängigkeit (implizit oder explizit) vom Pfad zu haben, also muss seine Variation sein $\delta t=0$ . (In der Standardableitung betrachten wir eine Störung $\epsilon \eta (t)$ mit entsprechenden Randbedingungen auf den Weg und variieren bzgl $\epsilon$ , klar müssen wir haben $\frac{\delta t}{\delta \epsilon}=0$ .)

Für den zweiten Teil, da variieren wir $\mathcal S$ bzgl. des Weges, und dieser ist völlig unabhängig von der Ableitung bzgl $t$ , die beiden Ableitungen kommutieren und der von Ihnen angegebene Ausdruck ist wahr. (In der Standardableitung variieren wir bzgl $\epsilon$ aber das ist nicht wesentlich - was ist, dass eine Variation bezüglich des Pfades, wie auch immer wir diese Variation "parametrisieren" mögen, auf einer konzeptionellen Ebene unabhängig von einer Ableitung bezüglich der Zeit ist).

Ich bin mir ziemlich sicher, dass das, was OP in der zweiten Frage sagt, wahr ist. Die Lagrange-Funktion ist eine Funktion der Koordinaten und Geschwindigkeiten, aber die Aktion ist eine Funktion des Pfads, und auf dem gesamten Pfad können Sie nicht variieren $q$ Und $\dot{q}$ unabhängig.
Sie können Goldsteins Ansatz in David Tongs Notizen (Seite 87) damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/clas.pdf sehen
@Javier Sie haben absolut Recht, das wurde mir klar, als ich darüber nachdachte, in Bezug auf was wir variieren, und meine Antwort entsprechend bearbeitet habe.

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Elio Pereira

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QMechaniker

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Ungefähr wahr

Paul T.

Ungefähr wahr

Javier

Elio Pereira

Ungefähr wahr

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