Beweisen Sie, dass die Lagrange-Dichte LL\mathscr{L}, die einen gegebenen Satz von Euler-Lagrange-Gleichungen erzeugt, nicht eindeutig ist [duplizieren]

Erinnern Sie sich, woher die Euler-Lagrange-Gleichungen kommen: Extremisierung der Aktion. Schauen wir uns also an, was das Hinzufügen einer Divergenz mit der Aktion bewirkt, die, wenn Sie sich erinnern, als Integral über unsere Raumzeit-Mannigfaltigkeit definiert ist.$\mathcal M$als

$$S[\varphi] =\int_{\mathcal M }\! \mathrm d^dr \ \mathcal L[\varphi,\nabla\varphi]$$ Wir fügen der Lagrange-Dichte eine Divergenz hinzu, indem wir lassen $\mathcal L\rightarrow\mathcal L + \nabla\cdot f$, unsere neue Aktion lautet also: $$\begin{align} S'[\varphi] &=\int_\mathcal M\! \mathrm d^dr \ (\mathcal L+\nabla\cdot f)\\ &=S[\varphi]+\oint_{\partial\mathcal M}\mathrm da\cdot f \end{align}$$ wo wir die erstaunliche Kraft des Satzes von Gauß genutzt haben, um unsere zu ändern $4$-dimensionales Volumenintegral über die Raumzeit, zu a $3$-dimensionales Integral über die Grenze der Raumzeit, $\partial \mathcal M$. Das fordern wir jetzt $f$brav sein, in dem Sinne, dass es an der Grenze verschwindet. Wir sehen dann, dass die Aktion unverändert ist, also wird sie dieselben Extrema wie zuvor und daher dieselben Euler-Lagrange-Gleichungen haben.

Die Lektion hier ist, dass Sie versuchen sollten, die Dinge koordinativ unabhängig zu erledigen. Dann ist das Ausfüllen der Details in einem bestimmten Koordinatensystem einfacher.