Ist die Aktion für freie Partikel wirklich minimal?

Question

Ist die Aktion für freie Partikel wirklich minimal?

Aktion
Physik
klassische Mechanik
Variationsrechnung
Variationsprinzip
Hausaufgaben-und-Übungen

Alexander Goldstein

In meinem Mechanikunterricht habe ich ein Problem: Zeigen Sie, dass die Aktion für freie nichtrelativistische Teilchen
$\begin{matrix} (1) & S = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} \frac{M {\dot{X}}^{2}}{2} D T \end{matrix}$ $S=\int\limits_{t_i}^{t_f}\frac{m\dot{x}^2}{2}dt\tag{1}$ ist wirklich am wenigsten (aber nicht maximal).

Was ich mache:

\begin{matrix} (2) & S = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} \frac{M {\dot{X}}^{2}}{2} D T = \frac{M v^{2}}{2} \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T = \frac{M v^{2}}{2} (T_{F} - T_{ich}) . \end{matrix}

$S=\int\limits_{t_i}^{t_f}\frac{m\dot{x}^2}{2}dt=\frac{mV^2}{2}\int_{t_i}^{t_f}dt=\frac{mV^2}{2}(t_f-t_i).\tag{2}$ Dann

\dot{S} = \frac{m V^{2}}{2}

$\dot{S}=\frac{mV^2}{2}$ Und

\ddot{S} = 0

$\ddot{S}=0$ . Und für Minimalität muss es sein

> 0

$>0$ , aber es ist nur Null. Ich bin verwirrt.

QMechaniker

Interessanterweise hat der harmonische Oszillator im Gegensatz zum freien Teilchen (nach dem OP fragt) bereits stationäre Pfade, die keine lokalen Minima sind, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Antworten (1)

Ist die Aktion für freie Partikel wirklich minimal?

Interessanterweise hat der harmonische Oszillator im Gegensatz zum freien Teilchen (nach dem OP fragt) bereits stationäre Pfade, die keine lokalen Minima sind, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

QMechaniker · Answer 1

Hinweise:

Sie sollen das für willkürliche, aber FIXE Werte von zeigen $t_i$ , $t_f$ , $x(t_i)$ , $x(t_f)$ (mit $t_i< t_f$ ), dass die Off-Shell-Aktion funktioniert $S[x]$ für einen beliebigen virtuellen Pfad $t\mapsto x(t)$ ist größer als die On-Shell-Aktion $S[x_{\rm cl}]$ für den klassischen Weg $t\mapsto x_{\rm cl}(t)$ .
Versuchen Sie, diesen Unterschied zu zeigen $S[x]-S[x_{\rm cl}]$ ist ein offensichtlich positives Funktional der Fluktuation $x-x_{\rm cl}$ .

Ok, also nehme ich eine zweite Variante dafür? In diesem Fall habe ich $L(\dot{q})$ , So: $δ S = \int \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} δ \dot{Q} D T = \int M \dot{X} δ \dot{X} D T = - \int M \ddot{X} δ X D T$ $\delta S = \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} dt = \int m\dot{x}\delta \dot{x} dt = -\int m\ddot{x} \delta x dt$ Und $δ^{2} S = - \int M δ \ddot{X} δ X D T = \int M δ \dot{X} δ \dot{X} D T = \int M (δ \dot{X})^{2} D T .$ $\delta^2 S = - \int m \delta \ddot{x} \delta x dt = \int m \delta \dot{x} \delta \dot{x} dt = \int m ( \delta \dot{x})^2 dt.$ Und dieser Typ natürlich mehr als null. Danke schön.

Ist die Aktion für freie Partikel wirklich minimal?

Alexander Goldstein

QMechaniker

Antworten (1)

QMechaniker

Alexander Goldstein

Prinzip der stationären Aktion vs. Euler-Lagrange-Gleichung

Stellt das Integral in der Wirkungsformel nach dem Prinzip der stationären Wirkung eine Fläche oder eine Länge dar?

Herleitung von Euler-Lagrange-Gleichungen in Landaus und Lifshitz' "Mechanik"

Beweisen Sie, dass die Lagrange-Dichte LL\mathscr{L}, die einen gegebenen Satz von Euler-Lagrange-Gleichungen erzeugt, nicht eindeutig ist [duplizieren]

Zeitabhängigkeit der Lagrangefunktion eines freien Teilchens?

Problem der Variationsrechnung

Schwingers Variation der Wirkung von Punktteilchen mit *sowohl Zeit als auch Position als unabhängige Variablen

Ist es möglich, dass das Aktions-SSS keinen stationären Punkt hat?

Aktionsprinzip und funktionelles Derivat in CM

Frage zu "unterschiedlichen" Bewegungsgleichungen in Abhängigkeit von Indizes