Herleitung von Euler-Lagrange-Gleichungen in Landaus und Lifshitz' "Mechanik"

Gegeben

$$\int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{\partial L}{\partial q}\,\delta q + \frac{\partial L}{\partial v}\,\delta v \right)= \int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{\partial L}{\partial q}\,\delta q\right) + \int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{\partial L}{\partial v}\,\frac{d}{dt}\delta q \right)$$ dann kann der zweite Beitrag auf der rechten Seite umgeschrieben werden als $$\int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{\partial L}{\partial v}\,\frac{d}{dt}\delta q \right) = \int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v} \delta q\right)-\delta q\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v} \right) \right).$$ Das erste Stück kann als totales Derivat herausintegriert werden, und das zweite kann mit dem ersten Gesamtbeitrag zusammengruppiert werden.

PS Meine persönliche Erfahrung ist, niemals Landau & Lifshitz zu lesen, um daraus zu lernen.

Partielle Integration wird nur für den zweiten Term in (1) verwendet:

$$\underset{{t}_{1}}{\overset{{t}_{2}}{\int }}\frac{\partial L}{\partial v}\delta v=\underset{{t}_{1}}{\overset{{t}_{2}}{\int }}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v}\delta q\right)dt-\underset{{t}_{1}}{\overset{{t}_{2}}{\int }}\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v}\right)\delta qdt$$ Der erste Begriff kommt als heraus $$\frac{\partial L}{\partial v}\delta {q|}_{{t}_{1}}^{{t}_{2}},$$ der zweite bleibt unter dem Integral.