Variieren einer Aktion (kosmologische Störungstheorie)

Question

Benutzer21119

Ich stecke fest, ändere eine Aktion und versuche, eine Bewegungsgleichung zu erhalten. (Übergang von Gl. 91 zu Gl. 92 im Bild.) Dies ist die Aktion

S = \int D^{4} X \frac{A^{2} (T)}{2} ({\dot{H}}^{2} - (\nabla H)^{2}) .

$S~=~\int d^{4}x \frac{a^{2}(t)}{2}(\dot{h}^{2}-(\nabla h)^2).$

Und das ist die Lösung,

\ddot{H} + 2 \frac{\dot{A}}{A} \dot{H} - \nabla^{2} H = 0.

$\ddot{h} + 2 \frac{\dot{a}}{a}\dot{h} - \nabla^{2}h~=~0.$

Das bekomme ich

\partial_{0} (A^{2} \partial_{0} H) - \partial_{0} (A^{2} \nabla H) - \nabla (A^{2} \partial_{0} H) + \nabla^{2} (H A^{2}) = 0.

$\partial_{0}(a^{2}\partial_{0}h)-\partial_{0}(a^{2}\nabla h)-\nabla(a^{2}\partial_{0}h)+\nabla^{2}(ha^{2})~=~0.$

Ich sehe meinen Fehler nicht wirklich, vielleicht übersehe ich etwas. (Punkt steht für $\partial_{0}$ )

Es ist dieses Problem (siehe Vorlesungen über die Theorie der kosmologischen Störungen, von Brandenburger):

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Kommentar zur Frage (v1): Wie erhält man den zweiten und dritten Term bei gemischten zeitlichen und räumlichen Ableitungen?

Kommentar zur Frage (v1): Wie erhält man den zweiten und dritten Term bei gemischten zeitlichen und räumlichen Ableitungen?

QMechaniker · Answer 1

Hinweise:

Die Lagrange-Dichte in der $(+,-,-,-)$ Konvention ist
$L = \frac{A^{2}}{2} D_{μ} H D^{μ} H .$ ${\cal L}~=~\frac{a^2}{2}d_{\mu}h ~d^{\mu}h.$
Die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung (durch Variation der Aktion $S[h]=\int \!d^4x ~{\cal L}$ wrt. das Feld $h$ ) Ist
$D_{μ} (A^{2} D^{μ} H) = 0.$ $d_{\mu}(a^2 ~d^{\mu}h)~=~0.$
Oder äquivalent, unter der Annahme, dass $a=a(t)$ ,
$\frac{2 \dot{A} \dot{H}}{A} + D_{μ} D^{μ} H = 0.$ $\frac{2\dot{a}\dot{h}}{a} + d_{\mu}d^{\mu}h~=~0.$
Schließlich werden die drei Raumrichtungen Fourier-transformiert, um Gl. (92).

thx natürlich, nur um zu überprüfen, ob die Fourier-Transformation bedeutet, dass man einsteigen sollte $h=h(t)e^{ikx}$ oder ist es $h=h(t)e^{ikx}+h(t)^{*}e^{-ikx}$ ? Ich bin immer verwirrt damit, wie würde man es vereinfachen, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen?