Feldgleichungen einer bestimmten Aktion [Duplikat]

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Feldgleichungen einer bestimmten Aktion [Duplikat]

dninja

Eine Aktion bereitgestellt:

S [A_{v}] = \int (\frac{1}{4 μ_{0}} (A_{γ, μ} - A_{μ, γ}) (A_{ζ, a} - A_{a, ζ}) η^{γ ζ} η^{μ a} + \frac{1}{2} v^{2} A_{μ} A_{γ} - β A_{μ} J^{μ}) \sqrt{- η} D T D^{3} X,

$S[A_\nu] = \int\left(\frac{1}{4\mu_0}(A_{\gamma,\mu}-A_{\mu,\gamma})(A_{\zeta,\alpha}-A_{\alpha,\zeta})\eta^{\gamma\zeta}\eta^{\mu\alpha}+\frac{1}{2}\nu^2A_\mu A_\gamma -\beta A_\mu J^\mu\right)\sqrt{-\eta}~dtd^3x,$

Wie würde man vorgehen, um die Feldgleichungen dafür zu finden? Ich verstehe, dass man mit der Euler-Lagrange-Methode beginnen sollte.

Sagt es uns auf einen Blick, um was für ein Feld es sich handelt?

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/3005/2451 , Physics.stackexchange.com /q/34241/2451 , Physics.StackExchange.com /q/51169/2451 , Physics.StackExchange.com /q/64272/2451 und Links darin.

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Feldgleichungen einer bestimmten Aktion [Duplikat]

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Max Schambach · Answer 1

Wie bereits erwähnt, entspricht die Aktion massiver Elektronendynamik, einschließlich externer Quellen, in der Minkowski-Raumzeit. Dies ist auch unter dem Begriff Proca-Aktion bekannt.
Wie Sie bereits erwähnt haben, können die entsprechenden Bewegungsgleichungen mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichung gefunden werden

0 = \frac{\partial L}{\partial A_{μ}} - \partial_{v} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} A_{μ})}

$0 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} - \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu A_\mu)}$ Beide Terme werden ziemlich einfach berechnet und Sie sollten mit den Bewegungsgleichungen aufwärts gehen

0 = \partial^{v} F_{v μ} - M^{2} A_{μ} + β J_{μ}

$0=\partial^\nu F_{\nu \mu} - m^2 A_\mu + \beta j_\mu$ oder

0 = \partial^{μ} \partial_{[μ} A_{v]} - M^{2} A_{μ} + β J_{μ}

$0= \partial^\mu \partial_{[\mu} A_{\nu]} - m^2A_\mu + \beta j_\mu$ Ich habe den Feldstärketensor eingesetzt

F = d A

$F = dA$ , oder

F_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ der Einfachheit halber und ersetzt

m^{2}

$m^2$ für

ν^{2}

$\nu^2$ seit ich denke

ν

$\nu$ ist sozusagen Koordinatenindizes vorbehalten (insofern ist deine Definition auch etwas formal falsch, da du auf der rechten Seite schreibst

S [A_{ν}]

$S[A_\nu]$ ). Das Niederschreiben der Lagrangefunktion mit dem Feldstärketensor ermöglicht meiner Meinung nach auch eine direktere Identifizierung der zugrunde liegenden Theorie.
Proca-Felder sind die einfachsten massiven Verallgemeinerungen von Vektorfeldern und können auch in einem quantenmechanischen oder Quantenfeld-Kontext untersucht werden. Beachten Sie jedoch, dass die Proca-Gleichung im Gegensatz zur Maxwell-Gleichung nicht eichinvariant ist, da die Symmetrie durch den Massenterm gebrochen wird!

BEARBEITEN: Beachten Sie, dass in einer anderen Antwort angegeben ist, dass die Bewegungsgleichungen sind $(\square - m^2)A_\mu = \beta j_\mu$ , aber das ist a priori falsch. Wenn Sie jedoch versuchen, die Proca-Gleichung zu lösen, stellen Sie fest, dass sie tatsächlich der erwähnten Wellengleichung PLUS einer Nebenbedingung entspricht, $m^2 \partial^\nu A_\nu = \beta \partial^\nu j_\nu$ . Dies ist in gewisser Weise analog zu dem Fall in der Elektrodynamik, wo Sie feststellen, dass die Maxwell-Gleichungen durch Lösen einer Wellengleichung (des Vier-Vektor-Potentials) und einer Nebenbedingung (der Lorenz-Nebenbedingung) gelöst werden können.

Ich bin ein wenig verwirrt darüber, warum die Antwort von didgeridoo92 und Ihre in Bezug auf das Zeichen nicht übereinstimmen. Nach der Euler-Lagrange-Gleichung $-\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial A_{\nu,\mu}}\right)+\frac{\partial L}{\partial A_\nu} = 0$ gefolgt von der Substitution von $F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , würde man nicht bekommen $\partial^\mu \partial_\mu A^\nu - \partial^\nu\partial^\mu A_\mu-m^2 A_\mu=-\beta J_\mu$ , was uns dann liefert: $(\square-m^2)A_\nu=-\beta J_\nu$ . Entschuldigung für das Herumspielen mit den Indizes, ich bin ziemlich neu in dieser Art der Notation. Vielen Dank für Ihre Hilfe!
ja, das entspricht den Vorzeichen in "meinen" Bewegungsgleichungen. Und abhängig von Ihrer Definition von $\square$ , ich würde es lieber in der bekannteren Form schreiben $(◻ + M^{2}) A_{μ} = β J_{μ}$ $(\square + m^2) A_\mu = \beta j_\mu$ was dann wie eine Verallgemeinerung der Klein-Gordon-Gleichung aussieht. Aber nochmal: Vergiss die Einschränkung nicht! Ansonsten ist es nicht äquivalent zur Proca-Gleichung.
Wie würde man dann vorgehen, um den Spannungstensor für ein solches Feld zu finden?
Das ist eine etwas knifflige Aufgabe. Im Prinzip müssten Sie eine Variation der Lagrange-Funktion zur Metrik durchführen. Wenn Sie Stress-Energie-Tensor oder Energie-Moment-Tensor in klassischen Feldtheorien googeln, finden Sie detaillierte Informationen. Zum Beispiel arxiv.org/ftp/hep-th/papers/0307/0307199.pdf oder physical.umd.edu/courses/Phys624/agashe/F10/solutions/HW1.pdf für eine Anwendung im Elektromagnetismus

Didgeridoo92 · Answer 2

nach dem Euler-Lagrange-Verfahren würden Sie einfach die folgende Feldgleichung erhalten:

$(\square-\nu^2)A_\alpha=-\beta J_\alpha$ ,

Das ist die Proca-Gleichung. Über die Proca-Aktion können Sie sich online informieren. Ich bin neu in der Feldtheorie und jemand sollte mich korrigieren, wenn ich falsch liege.

Magma · Answer 3

Dies ist nur der Lagrangian für Elektromagnetismus. Das A ist das Vektorpotential und die Ausdrücke in Klammern sind der F-Tensor. Hier können Sie darüber lesen

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