Ableitung von Euler-Lagrange für Elektrodynamik Lagrange [Duplikat]

Für$\mathcal L = -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$Ich würde mich über Hilfe bei der Bewertung freuen

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}.$$

Ich habe gefunden

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} = -\frac14\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}(\partial_{\lambda}A_{\sigma} - \partial_{\sigma} A_{\lambda})(\partial_{\lambda} A_{\sigma} - \partial_{\sigma} A_{\lambda})$$

$$= -\frac14 \frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} \left( 2\partial_{\lambda}A_{\sigma}-2\partial_{\lambda}A_{\sigma}\partial_{\sigma}A_{\lambda}\right)$$ $$= -\frac14 4\left(\partial_{\nu} A_{\mu} - \partial_{\mu} A_{\nu}\right) \qquad(*)$$ $$= F_{\mu\nu}$$

aber ich kann den Schritt nicht verstehen, der unternommen wurde, um dorthin zu gelangen$(*)$. Bei meinem Versuch nehme ich die Kettenregel in Anspruch

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} = -\frac12 F_{\mu\nu} \frac{\partial(\partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\lambda})}{\partial(\partial_{\mu} A_{\nu})}$$

$$= -\frac12 F_{\mu\nu}(1) - \frac12 F_{\mu\nu} \frac{\partial(\partial_{\beta}A_{\lambda})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}$$ $$= -\frac12 F_{\mu\nu} - \frac12F_{\mu\nu}\delta_{\beta\mu} \delta_{\lambda\nu} = -\frac12 F_{\mu\nu} - \frac12 F_{\beta\lambda}$$

das scheint mir fast das zu geben, was ich will, aber ich muss auf einen Fehler gestoßen sein, weil dieser Ausdruck keinen Sinn mehr macht, da jeder Begriff durch indexiert werden sollte$\mu,\nu$.

Also meine 2 Fragen sind: wie kommen wir dahin$(*)$und wo ist mein versuch schief gelaufen?