Hilfe mit Chrstoffel-Symbolen für Probleme der geometrischen Mechanik?

Question

Hilfe mit Chrstoffel-Symbolen für Probleme der geometrischen Mechanik?

Jeffrey Rolland

Ich arbeite mich durch das Buch Geometric Control of Mechanical Systems von Bullo und Lewis https://www.amazon.com/gp/product/0387221956/ und stecke bei einem Problem fest, E4-18. Das Problem war offensichtlich einmal Gegenstand einer Forschungsarbeit, https://pdfs.semanticscholar.org/387d/4bb1c336aa0da87ab1d3a59f53532a2c74d2.pdf . Ich versuche zu reproduzieren, was die Autoren in diesem Artikel getan haben, damit ich das Problem von Bullo und Lewis lösen kann. Ich nehme die kinetische Energiefunktion der Autoren des Papiers als korrekt an, einschließlich ihrer "Riemannschen Metrik für kinetische Energie", und versuche, ihre Bewegungsgleichungen aus der Lagrange-Funktion zu reproduzieren.

Die Ableitung der Lagrangefunktion zur Erzeugung der Bewegungsgleichungen mit einer Riemannschen Metrik für kinetische Energie beinhaltet offensichtlich die Verwendung von Christoffel-Symbolen nach Bullo und Lewis. Ich habe die 4 Christoffel-Symbole mit berechnet $\theta$ "oben", in der ersten Bewegungsgleichung zu verwenden für $\ddot{\theta}$ , und ich bekomme diese 2 von ihnen, die mit $z\theta$ Und $\theta z$ unten sind beide ungleich Null und gleich, was zu a führt $-2mz\dot{z}\dot{\theta}$ Term in der ersten Bewegungsgleichung für $\ddot{\theta}$ . Das verstehe ich auch $\Gamma^{\theta}_{zz} = 0$ .

Ich bekomme jedoch einen Wert ungleich Null für $\Gamma^{\theta}_{\theta\theta}$ , was zu einem führen sollte $mlz\dot{\theta}^2$ Term in der Bewegungsgleichung für $\ddot{\theta}$ , aber die Autoren des Papiers haben diesen Begriff nicht in ihrer Bewegungsgleichung für $\ddot{\theta}$ .

Kann mir jemand helfen, herauszufinden, was ich falsch mache? Vielen Dank im Voraus.

Quantum Eyedea

Ich kann nicht auf die Seiten des Lehrbuchs zugreifen, daher wäre es hilfreich zu wissen, was das Problem ist. Ich vermute, Sie berechnen die Christoffel-Symbole

Γ_{b c}^{a}

$\Gamma^{a}_{\ bc}$ für Zylinderkoordinaten

(x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (r, θ, z)

$(x^1,x^2,x^3)=(r,\theta,z)$ ?

Eli

warum Sie nicht den Lagrange-Formalismus verwenden, um den EOM zu steuern

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{ich}}}) - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = 0 Q_{1} = ϑ, Q_{2} = z

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,\quad q_1=\vartheta\,,q_2=z$

Jeffrey Rolland

@Greg.Paul Vielen Dank für die Antwort! Die Koordinaten sind einfach

(θ, z)

$(\theta,z)$ :

θ

$\theta$ ist der Winkel der Plattform;

l

$l$ ist der senkrechte Abstand des Kanals vom Rotationspunkt (ein Parameter, keine Variable); Und

z

$z$ ist der Abstand von der Mitte des Kanals. Das Problem besteht darin, (a) die kinetische Energie und die "kinetische Energie Riemannsche Metrik" zu berechnen, (b) die potentielle Energie zu berechnen, (c) die Christoffel-Symbole (der kinetischen Energie Riemannsche Metrik) zu berechnen und (d) die zu berechnen Bewegungsgleichungen.

Jeffrey Rolland

@Eli Vielen Dank für die Antwort! Wenn Sie nur das verwenden, was Sie mit dem Lagrange auf dem Papier niedergeschrieben haben, werden die Bewegungsgleichungen im Papier nicht reproduziert. man muss offensichtlich die Christoffel-Symbole einbeziehen. Ich habe den EOM noch nie aus einem Lagrange mit Christoffel-Symbolen berechnet, und jetzt mache ich es offensichtlich falsch.

Antworten (1)

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Ich kann nicht auf die Seiten des Lehrbuchs zugreifen, daher wäre es hilfreich zu wissen, was das Problem ist. Ich vermute, Sie berechnen die Christoffel-Symbole $\Gamma^{a}_{\ bc}$ für Zylinderkoordinaten $(x^1,x^2,x^3)=(r,\theta,z)$ ?
warum Sie nicht den Lagrange-Formalismus verwenden, um den EOM zu steuern $\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{ich}}}) - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = 0 Q_{1} = ϑ, Q_{2} = z$ $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,\quad q_1=\vartheta\,,q_2=z$
@Greg.Paul Vielen Dank für die Antwort! Die Koordinaten sind einfach $(\theta,z)$ : $\theta$ ist der Winkel der Plattform; $l$ ist der senkrechte Abstand des Kanals vom Rotationspunkt (ein Parameter, keine Variable); Und $z$ ist der Abstand von der Mitte des Kanals. Das Problem besteht darin, (a) die kinetische Energie und die "kinetische Energie Riemannsche Metrik" zu berechnen, (b) die potentielle Energie zu berechnen, (c) die Christoffel-Symbole (der kinetischen Energie Riemannsche Metrik) zu berechnen und (d) die zu berechnen Bewegungsgleichungen.
@Eli Vielen Dank für die Antwort! Wenn Sie nur das verwenden, was Sie mit dem Lagrange auf dem Papier niedergeschrieben haben, werden die Bewegungsgleichungen im Papier nicht reproduziert. man muss offensichtlich die Christoffel-Symbole einbeziehen. Ich habe den EOM noch nie aus einem Lagrange mit Christoffel-Symbolen berechnet, und jetzt mache ich es offensichtlich falsch.

Eli · Answer 1

Ich denke, Sie können die EOMs vom Lagrange fahren?

\begin{aligned} \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{ich}}}) - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = 0 Q_{1} = ϑ, Q_{2} = z \\ L = (M (z^{2} + l^{2}) + \frac{1}{2} ICH) {\dot{ϑ}}^{2} - 2 M l \dot{ϑ} \dot{z} + M {\dot{z}}^{2} \\ (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϑ}}) = 2 (M (z^{2} + l^{2}) + \frac{1}{2} ICH) \dot{ϑ} - 2 M l \dot{z} \\ \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϑ}}) = 2 (M (z^{2} + l^{2}) + \frac{1}{2} ICH) \ddot{ϑ} - 2 M l \ddot{z} + 4 M \dot{z} \dot{ϑ} \\ \frac{\partial L}{\partial ϑ} = 0 \\ EOM für ϑ \\ (M (z^{2} + l^{2}) + \frac{1}{2} ICH) \ddot{ϑ} - M l \ddot{z} + 2 M \dot{z} \dot{ϑ} = 0 \sqrt ? ? \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,\quad q_1=\vartheta\,,q_2=z\\\\ &L=\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\dot{\vartheta}^2 -2\,m\,l\dot{\vartheta}\dot{z}+m\,\dot{z}^2\\ &\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}\right)= 2\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\dot{\vartheta}- 2\,m\,l\dot{z}\\ &\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}\right)= 2\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\ddot{\vartheta}- 2\,m\,l\ddot{z}+4\,m\,\dot{z}\,\dot{\vartheta}\\ &\frac{\partial L}{\partial \vartheta}=0\\\\ &\text{EOM for $\vartheta$}\\ &\boxed{\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\ddot{\vartheta}- \,m\,l\ddot{z}+2\,m\,\dot{z}\dot{\vartheta}=0}\quad \surd ?? \end{align*}$

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Eli

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