Verwendung von Tensoren auf Lagrange und Hamilton

Question

Verwendung von Tensoren auf Lagrange und Hamilton

Elio Pereira

Wir können die Lagrange-Funktion schreiben (mit $n$ verallgemeinerte Koordinaten) mit dem folgenden Ausdruck:

L (Q_{ich}, \dot{Q_{ich}}, T) = L_{0} (Q_{ich}, T) + L_{1} (Q_{ich}, \dot{Q_{ich}}, T) + L_{2} (Q_{ich}, \dot{Q_{ich}}, T)

$\mathcal{L(q_i,\dot{q_i},t)}=\mathcal{L}_0(q_i,t)+\mathcal{L}_1(q_i,\dot{q_i},t)+\mathcal{L}_2(q_i,\dot{q_i},t)$

Wo

L_{0} = \vec{k_{1}} . \vec{Q} + k_{2},

$\mathcal{L}_0=\vec{k_1}.\vec{q}+k_2,$ ist eine Funktion mit Nr

\dot{q_{i}}

$\dot{q_i}$ Bedingungen,(

k_{1} \in R^{n}, k_{2} \in R

$k_1\in\mathbb{R}^n,k_2\in \mathbb{R}$ ),

L_{1} = \vec{A} . \vec{\dot{Q}},

$\mathcal{L}_1=\vec{a}.\vec{\dot{q}},$ ist eine lineare Funktion auf

\dot{q_{i}}

$\dot{q_i}$ ,

(a = a (q_{i}, t))

$\left(a=a(q_i,t)\right)$ , Und

L_{2} = B_{ich} {\dot{Q_{ich}}}^{2} + C_{ich} \dot{Q_{ich}} \dot{Q_{J}},

$\mathcal{L}_2=b_i\dot{q_i}^2+c_i\dot{q_i}\dot{q_j},$ ist eine quadratische Funktion auf

\dot{q_{i}}

$\dot{q_i}$ , (

b = b (q_{i}, t), c = c (q_{i}, t), i = 1, 2, . . . n, j = 1, 2, . . . n

$b=b(q_i,t),c=c(q_i,t), i=1,2,...n,j=1,2,...n$ ).

Auf diese Weise kann ich den vorherigen Ausdruck for umwandeln $\mathcal{L}$ An:

L (Q_{ich}, \dot{Q_{ich}}, T) = L_{0} (Q_{ich}, T) + A . \dot{Q} + \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{T} T \dot{Q}

$\mathcal{L(q_i,\dot{q_i},t)}=\mathcal{L}_0(q_i,t)+{a}.{\dot{q}}+\frac{1}{2}\dot{q}^tT\dot{q}$

Wo $T$ ist der Tensor der kinetischen Energie.

Wir haben den Prähamiltonian als

H (Q_{ich}, \dot{Q_{ich}}, P_{ich}, T) = \vec{\dot{Q}} . \vec{P} - L (Q_{ich}, \dot{Q_{ich}}, T)

$\mathcal{h(q_i,\dot{q_i},p_i,t)}=\vec{\dot{q}}.\vec{p}-\mathcal{L(q_i,\dot{q_i},t)}$

was geschrieben werden kann als

H (Q_{ich}, P_{ich}, T) = \frac{1}{2} (P - A)^{T} T^{- 1} (P - A) - L_{0} (Q_{ich}, T)

$\mathcal{H(q_i,p_i,t)}=\frac{1}{2}(p-a)^tT^{-1}(p-a)-\mathcal{L}_0(q_i,t)$

Meine Frage bezieht sich auf das Verfahren, um vom Lagrange-Tensor zu diesem letzten Ausdruck in einer Art algebrischer Operationen zu gelangen. Könnten Sie diese algebrischen Operationen schreiben?

Walter

Ihre Gleichung mit

q^{t} T q

$q^tTq$ folgt nicht aus dem Vorhergehenden. Vielleicht meintest du

{\dot{q}}^{t} T \dot{q}

$\dot{q}^tT\dot{q}$ mit

T

$T$ ein konstanter Tensor (anstelle eines kinetischen Energietensors , was auch immer das ist).

Elio Pereira

sie haben Recht! Verzeihung..

Antworten (1)

Verwendung von Tensoren auf Lagrange und Hamilton

Ihre Gleichung mit $q^tTq$ folgt nicht aus dem Vorhergehenden. Vielleicht meintest du $\dot{q}^tT\dot{q}$ mit $T$ ein konstanter Tensor (anstelle eines kinetischen Energietensors , was auch immer das ist).

Walter · Answer 1

Wenn

L = A \dot{Q} + \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{T} T \dot{Q} - U (Q)

$\mathcal{L} = \boldsymbol{a}\dot{\boldsymbol{q}} + \tfrac{1}{2}\dot{\boldsymbol{q}}^t\mathsf{\boldsymbol{T}}\dot{\boldsymbol{q}} - U(\boldsymbol{q})$ mit einem konstanten Vektor

a

$\boldsymbol{a}$ und konstanter symmetrischer Tensor

T

$\mathsf{\boldsymbol{T}}$ , Dann

P = \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} = A + T \dot{Q} .

$\boldsymbol{p}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\boldsymbol{q}}}=\boldsymbol{a}+\mathsf{\boldsymbol{T}}\dot{\boldsymbol{q}}.$ Somit,

\dot{Q} = T^{- 1} (P - A)

$\dot{\boldsymbol{q}}=\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})$ Und

\begin{aligned} H & = P \dot{Q} - L \\ = (P - A) \dot{Q} - \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{T} T \dot{Q} + U (Q) \\ = (P - A) T^{- 1} (P - A) - \frac{1}{2} (P - A)^{T} T^{- 1} T T^{- 1} (P - A) + U (Q) \\ = \frac{1}{2} (P - A)^{T} T^{- 1} (P - A) + U (Q) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{H} &= \boldsymbol{p}\dot{\boldsymbol{q}} - \mathcal{L} \\ &= (\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})\dot{\boldsymbol{q}} - \tfrac{1}{2}\dot{\boldsymbol{q}}^t\mathsf{\boldsymbol{T}}\dot{\boldsymbol{q}} + U(\boldsymbol{q}) \\ &= (\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}) - \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})^t\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}\mathsf{\boldsymbol{T}}\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}) + U(\boldsymbol{q}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})^t\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}) + U(\boldsymbol{q}). \end{align}$

Bearbeiten. Sie scheinen Schwierigkeiten mit der Vektornotation zu haben, also versuchen wir es mit der Indexnotation (unter Verwendung von Einsteins Summenkonvention).

L = A_{ich} {\dot{Q}}_{ich} + \frac{1}{2} {\dot{Q}}_{ich} T_{ich J} {\dot{Q}}_{J} - U (Q_{ich})

$\mathcal{L} = a_i\dot{q}_i + \tfrac{1}{2}\dot{q}_iT_{ij}\dot{q}_j - U(q_i)$ so dass

P_{k} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{k}} = A_{k} + \frac{1}{2} T_{k J} {\dot{Q}}_{J} + \frac{1}{2} {\dot{Q}}_{ich} T_{ich k} = A_{k} + \frac{1}{2} (T_{k ich} + T_{ich k}) {\dot{Q}}_{ich} .

$p_k = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k} = a_k + \tfrac{1}{2}T_{kj}\dot{q}_j+\tfrac{1}{2}\dot{q}_iT_{ik} = a_k + \tfrac{1}{2}(T_{ki}+T_{ik})\dot{q}_i.$ und der Rest wie vorher.

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Elio Pereira

Walter

Elio Pereira

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Walter

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