Eichinvarianz des Hamiltonoperators

Dies ist eine Situation, in der es hilft, sehr darauf zu achten, was alles bedeutet. Erstens (sehr penibel) sollte die rechte Seite gleich sein$-\dot{p}'$(seit$F=-\nabla_x V$.)

Zweitens (Hinweis) der Operator$\partial_x$hat eine etwas andere Bedeutung, wenn auf Funktionen von eingewirkt wird$p,x$und Funktionen von$p',x$.

Antworten:

Die explizite Anwendung der Kettenregel,

Zunächst einmal ist der kanonische Hamiltonoperator in der klassischen Mechanik und (oder der kanonische Spannungs-Energie-Tensor in der klassischen Feldtheorie) normalerweise nicht unbedingt eichinvariant.

Beispielsweise ist der Hamiltonoperator für ein Elektron der Masse m und der Ladung e in einem äußeren elektromagnetischen Feld

was eindeutig nicht eichinvariant ist. Der Grund dafür ist, dass die äußeren elektromagnetischen Felder im Lagrange als nicht-dynamische Variablen erscheinen.

Zweitens die Verwandlung

Sie haben in Ihrer Frage erwähnt, dass es sich nicht um eine Messgerättransformation handelt. Ein Lagrange-Operator ist immer bis auf eine totale Ableitung bestimmt, sollte aber unter Eichtransformationen unveränderlich sein.

Wenn man von Symmetrien in der klassischen Mechanik und der klassischen Feldtheorie spricht, muss man zwei Arten von „Symmetrien“ unterscheiden: Physikalische Symmetrie (dynamisch) und Eichredundanz (nicht dynamisch). Messredundanzen ergeben sich aus der Freiheit, Entscheidungen darüber zu treffen, wie er die Aktion formulieren kann. Im Langrangschen Formalismus der klassischen Feldtheorie findet man normalerweise Eichregandanzen, wenn es nicht-dynamische Variablen gibt. Zum Beispiel im klassischen Elektromagnetismus,$A_{0}$Komponente ist nicht dynamisch, da die Lagrange-Dichte nicht von ihrer zeitlichen Ableitung abhängt$\dot{A}_{0}$. Ein weiteres Beispiel ist der metrische Worldsheet-Tensor in der Stringtheorie. Mit anderen Worten, nach dem impliziten Funktionssatz kann man den entsprechenden kanonischen Hamilton-Operator nicht über die Legendre-Transformation finden, weil der Hesse-Operator

ist eine singuläre Matrix.

In Ihrem Fall sollten Sie die Transformation nicht als Eichtransformation bezeichnen. Aber wenn Sie an Messredundanzen in Ihrem Lagrange interessiert sind$L(x,\dot{x},t)$, dann müssen Sie die Variable behandeln$t$als separate nicht dynamische Variable. Dann der naive Hamiltonianer

Sie gaben überhaupt keinen Sinn. Das liegt an der Aktion

besitzt nun eine Reparametrisierungsinvarianz von$t$, was eindeutig eine Messgerätredundanz ist. Konkret kann man das unter einer Umparametrierung der Variablen überprüfen$t$was die Endpunkte verlässt$t=a$Und$t=b$fest, die Aktion wird

Das obige Integral muss für Willkür verschwinden$\delta t$das ist fest bei$t=a$Und$t=b$, daher

Somit verschwindet der naive kanonische Hamiltonoperator identisch. Beachten Sie, dass der obige naive Hamiltonian verschwindet, unabhängig davon, ob die Aktion extremisiert ist oder nicht, was bedeutet, dass es sich um eine mathematische Identität handelt, die auch außerhalb der Schale gilt.

Ein Beispiel für einen solchen Fall ist die Geodäte einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, wenn sie durch parametrisiert ist$q^{0}\equiv t$. Die Zeitvariable$t$wird nicht-dynamisch, und die Lagrange-Funktion hängt explizit davon ab$t$über den metrischen Tensor$g_{\mu\nu}(t,q^{1}(t),q^{2}(t),q^{3}(t))$.

In Ihrem Fall das kanonische Momentum$\pi$von Variable$t$verschwindet, aber der Hesse hat einen invertierbaren Block

Im Prinzip kann man lösen$\dot{q}^{i}$in Bezug auf Variablen$t$,$q^{i}$,$\pi$, Und$p_{i}$. Wenn man diese Lösungen wieder in die Definition der kanonischen Impulse einfügt, kann man lösen$\dot{q}^{i}$bezüglich$t$,$q^{i}$,$\pi$,$p^{i}$, und erhalten eine Nebenbedingungsgleichung für den Phasenraum:

Dies bedeutet, dass die naiven kanonischen Variablen$\left\{t,q,\pi,p\right\}$auf dem Phasenraum sind nicht unabhängig. Dies ist als Constraint-System bekannt , das von Dirac untersucht wurde. Der physikalische Phasenraum (reduzierter Phasenraum) sollte maßfest und sogar dimensional sein.