Lagrange zu Hamilton

Ich habe einige Probleme mit einer Aufgabe, bei der ich den Hamilton-Operator aus der kinetischen Energie angeben muss$T$und potentielle Energie$U$. Diese sind wie folgt:

$$T(\dot{x},\dot{y})=2m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-m\dot{x}\dot{y}$$ Und $$U(x,y)=-mgy+\frac{1}{2}k(y-l_{0})^{2}+U_{0},$$ Wo $m$, $g$, $k$, $l_{0}$Und $U_{0}$sind Konstanten.

Nun muss ich die verallgemeinerten Impulse herleiten$p_{x}$Und$p_{y}$, was ich mit der Gleichung mache:

$$p_{x}=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}$$ Und $$p_{y}=\frac{\partial T}{\partial \dot{y}},$$ und ich benutze nur $T$seit dem Potenzial $U$hängt nicht von den verallgemeinerten Koordinaten ab.

Das ist ziemlich einfach, und ich schließe mit$\dot{x}$Und$\dot{y}$gegeben durch die Impulse als:

$$\dot{x}=\frac{p_{x}+p_{y}}{4m}$$ Und $$\dot{y}=\frac{p_{x}+p_{y}}{m}$$ Jetzt sollte der Hamiltonoperator einfach zu bekommen sein, da ich diese nur noch in die Gleichung für die kinetische Energie einsetzen muss. Aber gemäß der Lösung muss ich zeigen, dass der Hamiltonoperator gegeben ist durch: $$H(x,y,p_{x},p_{y}) = \frac{1}{6m}(p_{x}^{2}+2p_{x}p_{y}+4p_{y}^{2}) + U$$ Aber wenn ich das mache, was ich oben gesagt habe, bekomme ich stattdessen: $$H(x,y,p_{x},p_{y}) = \frac{3}{8m}(p_{x}^{2}+2p_{x}p_{y}+p_{y}^{2}) + U$$ Und ich kann wirklich nicht herausfinden, wo ich es falsch mache. Ist mein Weg nicht der richtige? Ausdrücken $\dot{x}$Und $\dot{y}$in Bezug auf die Impulse, und dann einfach in die kinetische Energie einfügen?

Denke nicht, dass die Lösung falsch ist, aber man weiß nie. Also ja, ich brauche etwas Hilfe, um mich zu bewegen :)