Inkonsistenz im Lagrange- vs. Hamilton-Formalismus?

Question

Inkonsistenz im Lagrange- vs. Hamilton-Formalismus?

donnydm

Können sowohl der Lagrange- als auch der Hamilton-Formalismus zu unterschiedlichen Lösungen führen?

Ich habe ein einfaches System, das von der Lagrange-Funktion beschrieben wird

L (η, \dot{η}, θ, \dot{θ}) = η \dot{θ} + 2 θ^{2} .

$\begin{equation} L(\eta,\dot{\eta},\theta,\dot{\theta})=\eta\dot{\theta}+2\theta^2. \end{equation}$ Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus Euler-Lagrange-Gl.:

\begin{array}{rcl} 4 θ - \dot{η} = 0 A N D \dot{θ} = 0, \end{array}

$\begin{eqnarray} 4\theta-\dot{\eta}=0\; \mathrm{and}\; \dot{\theta}=0, \end{eqnarray}$ die Lösung liefern

η (t) = 4 θ_{0} t + η_{0}

$\eta(t)=4\theta_0t+\eta_0$ Wo

η_{0}

$\eta_0$ Und

θ_{0}

$\theta_0$ sind Konstanten.

Aber wenn ich eine der Bewegungsgleichungen aus dem Hamilton-Operator (über Legendre-Transformation) erhalte,

H = (\frac{\partial L}{\partial \dot{η}}) \dot{η} + (\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}) \dot{θ} - L = - 2 θ^{2},

$\begin{equation} H=\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\eta}\right)\dot\eta+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)\dot\theta - L =-2\theta^2, \end{equation}$

\dot{η} = \frac{\partial H}{\partial P_{η}} = 0,

$\begin{equation} \dot\eta=\frac{\partial H}{\partial p_\eta}=0, \end{equation}$ die Situation ist überraschend anders als beim Lagrange-Ansatz, weil

η

$\eta$ ist jetzt eine Konstante!

Kann jemand diese Inkonsistenz richtig erklären? Mache ich hier etwas falsch?

QMechaniker

Hinweise: 1. Für den Anfang gibt es eine primäre Einschränkung

p_{η} \approx 0

$p_{\eta}\approx 0$ . 2. Ich bespreche dieses Beispiel in meiner Phys.SE-Antwort hier .

JamalS

Beachten Sie aus dem Kopf, dass Sie bei der Berechnung

\frac{\partial L}{\partial \dot{η}} = 0

$\frac{\partial L}{\partial \dot \eta} = 0$ und so

p_{η} = 0

$p_\eta = 0$ . Als solche,

H

$H$ kann nicht als eine einzigartige Funktion von geschrieben werden

p_{η}

$p_\eta$ in irgendeiner Weise, und das glaube ich nicht

\frac{\partial H}{\partial p_{η}}

$\frac{\partial H}{\partial p_\eta}$ wäre gut definiert.

lalala

Versuchen Sie zu rechnen

p_{η}

$p_\eta$ ist Null. Sie können also die Geschwindigkeit nicht durch die Impulse ausdrücken. Dies wird als Constraint-System bezeichnet. Dirac hat ein kleines Buch geschrieben, wie man damit umgeht (da die Elektrodynamik auch ein Zwangssystem ist, ist dies für die Physik relevant)

Antworten (1)

Inkonsistenz im Lagrange- vs. Hamilton-Formalismus?

Hinweise: 1. Für den Anfang gibt es eine primäre Einschränkung $p_{\eta}\approx 0$ . 2. Ich bespreche dieses Beispiel in meiner Phys.SE-Antwort hier .
Beachten Sie aus dem Kopf, dass Sie bei der Berechnung $\frac{\partial L}{\partial \dot \eta} = 0$ und so $p_\eta = 0$ . Als solche, $H$ kann nicht als eine einzigartige Funktion von geschrieben werden $p_\eta$ in irgendeiner Weise, und das glaube ich nicht $\frac{\partial H}{\partial p_\eta}$ wäre gut definiert.
Versuchen Sie zu rechnen $p_\eta$ ist Null. Sie können also die Geschwindigkeit nicht durch die Impulse ausdrücken. Dies wird als Constraint-System bezeichnet. Dirac hat ein kleines Buch geschrieben, wie man damit umgeht (da die Elektrodynamik auch ein Zwangssystem ist, ist dies für die Physik relevant)

JG · Answer 1

Das Problem hier ist das, weil es Beschränkungen der Form gibt $f(q,\,p)=0$ , sind die Phasenraumkoordinaten der üblichen Hamiltonschen Formulierung nicht unabhängig. Ich bin mir nicht sicher, wie Sie auf diesen Lagrange gestoßen sind, aber dieses Problem ist ein häufiger Schluckauf im Elektromagnetismus und (wenn Sie ein obskureres Beispiel verzeihen) der BRST-Quantisierung. Die gute Nachricht ist, dass Sie immer noch eine Hamilton-Beschreibung erstellen können, die der Lagrange-Beschreibung entspricht. Der Trick besteht darin, an den „naiven“ Hamiltonoperator, wie hier erklärt, passende Terme anzuhängen, und dadurch werden die Poisson-Klammern zu sogenannten Dirac-Klammern aufgewertet.

Für Ihr Problem ist der vollständige Hamiltonoperator $H=-2\theta^2+c_1 p_\eta+c_2( p_\theta-\eta)$ , bei dem die $c_i$ müssen noch als Funktionen von undifferenzierten Phasenraumkoordinaten berechnet werden. In der Tat $c_1=\frac{\partial H}{\partial p_\eta}=\dot{\eta}=4\theta$ während $c_2=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\dot{\theta}=0$ , So $H=-2\theta^2+4\theta p_\eta$ . Sie können überprüfen, ob dies die richtigen Bewegungsgleichungen liefert.

Danke! Es ist eigentlich ein Teil des gestörten NLS-Lagrange nach einem Versuch, eine Lösung mit der Variationsmethode zu finden. Deckt die Dirac-Prozedur alle Lagrangian von "unregelmäßigen" Formen ab?
@donnydm Bei jedem Lagrangian mit konsistenten Bewegungsgleichungen stellt diese Technik eine äquivalente Hamiltonian-Formulierung sicher, obwohl Sie bei Ableitungen höherer Ordnung auch einen Trick aufgrund von Ostrogradski benötigen. (Ein Beispiel für eine inkonsistente Lagrange-Funktion ist $L=q$ .)

Inkonsistenz im Lagrange- vs. Hamilton-Formalismus?

donnydm

QMechaniker

JamalS

lalala

Antworten (1)

JG

donnydm

JG

Unterschiedliche Ergebnisse für den Hamiltonoperator einer Scheibe, die auf einer schiefen Ebene rollt

Wie findet man den Hamilton-Operator aus diesem einfachen Lagrange-Operator? (knifflig)

Berechnen Sie die Legendre-Transformation für eine singuläre Lagrange-Funktion

Legendre Transformation von Lagrange mit Einschränkungen

Kanonischer Formalismus in Lichtkegelkoordinaten

Kann ich auf die übliche Weise eine Potentialfunktion finden, wenn das zentrale Feld ttt in seiner Größe enthält?

Bewegungsgleichungen für ein freies Teilchen auf einer Kugel

Können die Lagrange-Multiplikatoren von den Koordinaten abhängen?

Hamiltonsche Systeme ohne entsprechendes Lagrange-System

Warum sind ppp und qqq unabhängige Variablen im Hamiltonschen Formalismus?