Können die Lagrange-Multiplikatoren von den Koordinaten abhängen?

Beim Umgang mit Lagrange-Multiplikatoren zum Lösen von Systemen mit Nebenbedingungen haben wir normalerweise zwei Möglichkeiten, wenn die Nebenbedingungen holonom sind:

• Differenzieren Sie die Einschränkung und fügen Sie den entsprechenden Begriff zu den Euler-Lagrange-EOMs hinzu:

  $$g_j(q_i,t) \rightarrow d g_j= \frac{\partial g_j}{\partial q_i}dq_i + \frac{\partial g_j}{\partial t}$$ dann lautete der EOM: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \sum_j\lambda_j\frac{\partial g_j}{\partial q_i},\quad \forall i$$

• Oder fügen Sie die Einschränkung zum Lagrange hinzu und behandeln Sie die Multiplikatoren$\lambda_j$als neue Koordinaten:

  $$L'(q_i,\dot{q}_i,t;\lambda_j) = L(q_i,\dot{q}_i,t) + \sum_j \lambda_j g_j(q_i,t)$$ und wir würden die gleichen Gleichungen erhalten. (Siehe zum Beispiel David Tongs Kapitel 2 über Klassische Dynamik )

Aber durch den zweiten Weg scheint es zu implizieren, dass die Multiplikatoren$\lambda_j$nicht in den verallgemeinerten Koordinaten abhängen, sondern beispielsweise im einfachen Pendel:

$$L = \frac{1}{2}m (\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) + mgr(1-\cos(\phi))$$ mit der Einschränkung $g= r-l$, wenn wir nach auflösen $\lambda$wir können zu folgendem Ausdruck kommen: $$\lambda = -ml\dot{\phi} -mg(1-\cos(\phi))$$ und dass es auch die Reaktionskraft ist, wie die Reaktionskraft geschrieben wird $Q_i = \sum_j \lambda_j\frac{\partial g_j}{\partial q_i}$(Siehe Klassische Mechanik: Teilchensysteme und Hamiltonsche Dynamik Walter Greiner, Kap. 16)

Dann können wir sagen, dass die Multiplikatoren$\lambda_j$hängen von den Koordinaten und deren Geschwindigkeiten und möglicherweise deren Beschleunigungen ab? Würde dies nicht der zweiten Art der Ableitung widersprechen?