Lagrange-Multiplikatoren für einfaches Pendel

Question

Lagrange-Multiplikatoren für einfaches Pendel

Ptheguy

Hier betrachten wir ein einfaches Pendel, das mit Lagrange-Multiplikatoren analysiert wird. In Abb. 1 ist das Längenpendel dargestellt $l$ und Masse $m$ . Lassen $U=0$ auf der $x$ -Achse. Die Nebenbedingungsgleichung sei $f(x,y)=\ell=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Der Lagrange wird zu

L = \frac{1}{2} M [{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}] - M G j .

$L=\frac{1}{2}m[\dot{x}^2+\dot{y}^2]-mgy\mathrm{.}$ Wenden wir Lagrange-Multiplikatoren an, erhalten wir

F_{X} = M \ddot{X} = λ X / l,

$F_x=m\ddot{x}=\lambda x/l\mathrm{,}$ Und

F_{j} = M \ddot{j} = λ j / l - M G .

$F_y=m\ddot{y}=\lambda y/l -mg\mathrm{.}$ Indem wir diese Ergebnisse einfach mit dem zweiten Newtonschen Gesetz vergleichen, können wir darauf schließen

λ = - T,

$\lambda=-T\mathrm{,}$ Und

λ = T .

$\lambda=T\mathrm{.}$

Meine Verwirrung kommt von der Tatsache, dass ein Ergebnis das andere negiert. Ich bin mir sicher, dass ich einen Fehler gemacht habe, aber ich kann ihn nicht finden.

Antworten (1)

Lagrange-Multiplikatoren für einfaches Pendel

Rumpelstillhaut · Answer 1

Sie sollten also Ihren Lagrangian neu schreiben $\mathcal{L}$ wie die folgenden

L = \frac{1}{2} M ({\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}) - M G j + λ (X^{2} + j^{2} - l^{2}),

$\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) -mgy + \lambda (x^2 + y^2 - l^2),$

wobei der letzte Term Ihre Beschränkungsgleichung ist, die normalerweise die Form annimmt $f(x,y)=0$ oder in verallgemeinerten Koordinaten $f(q_i,t)=0$ (Dies ist eine holonome Zwangsgleichung). Der nächste Schritt ist also, das zu tun, was Sie oben getan haben. Ich hoffe, Sie können es von hier aus übernehmen. PS: Hier und hier finden Sie eine nette Referenz zur Herangehensweise an die Frage .

Lieber Rumplestillskin, danke für deine Antwort. Ich habe jedoch festgestellt, dass das Problem subtiler ist. Es läuft alles auf das falsche Koordinatensystem hinaus, das ich gewählt habe. Wenn Sie mit dem herkömmlichen xy-Koordinatensystem arbeiten (wie in Abb. 1 gezeigt), ist die Beschränkungsgleichung NICHT länger $\ell=\sqrt{x^2+y^2}$ , sondern eine andere Funktion. Um dies zu beheben, ließ ich einfach die Oberseite des Pendels die y-Achse sein und ließ die Achse nach unten zeigen. Dann stimmt die gegebene Nebenbedingungsgleichung und alles funktioniert.
Ich denke, Sie müssen nicht einmal Ihre Koordinaten ändern. Beachten Sie die Richtung der Spannkraft mit Ihrer ursprünglichen Wahl ( $y$ nach oben zeigend) sein $-y/\ell$ , Weil $T$ zeigt nach innen. Sie können sich also identifizieren $\lambda =−T$ .

Lagrange-Multiplikatoren für einfaches Pendel

Ptheguy

Antworten (1)

Rumpelstillhaut

Ptheguy

Daniel Duque

Euler-Lagrange-Gleichung mit logarithmischem Potential

Bewegungsgleichungen für ein freies Teilchen auf einer Kugel

Gibt es Beispiele in der klassischen Mechanik, wo das Prinzip von D'Alembert versagt?

Können die Lagrange-Multiplikatoren von den Koordinaten abhängen?

Testen der zweiten Art von Gleichungen der Lagrange-Mechanik

Unterschiedliche Ergebnisse für den Hamiltonoperator einer Scheibe, die auf einer schiefen Ebene rollt

Wie findet man den Hamilton-Operator aus diesem einfachen Lagrange-Operator? (knifflig)

Lagrange-Übung von Goldstein

Wann gilt das Prinzip der virtuellen Arbeit?

Berechnen Sie die Legendre-Transformation für eine singuläre Lagrange-Funktion