Lagrange-Übung von Goldstein

Question

Lagrange-Übung von Goldstein

Schrödingers Katze

Frage 14 aus dem 1. Kapitel von H.Goldsteins Buch "Klassische Mechanik":

F: Zwei Massenpunkte $m$ werden durch einen starren, schwerelosen langen Stab verbunden $l$ , dessen Mittelpunkt gezwungen ist, sich auf einem Radiuskreis zu bewegen $a$ . Drücken Sie die kinetische Energie durch die verallgemeinerten Koordinaten aus.

Mein Verständnis des Problems sagt mir, dass das System nur hat $1$ Freiheitsgrad, $\theta$ , da sich der Massenmittelpunkt auf einem Kreis mit festem Radius in einer feststehenden Ebene bewegt. Es darf also nur eine verallgemeinerte Koordinate geben. Wenn ich nun bedenke, dass die Positionsvektoren der $2$ Punktmassen sind $\vec r_1$ Und $\vec r_2$ bzw. dann sind die Einschränkungen des Systems

| {\vec{R}}_{2} - {\vec{R}}_{1} | = l

$\lvert\vec r_2-\vec r_1\rvert=l$

| \frac{{\vec{R}}_{2} + {\vec{R}}_{1}}{2} | = A

$\left\lvert\frac{\vec r_2+\vec r_1}{2}\right\rvert=a$

Aber ich kann die verallgemeinerte Koordinate von hier an nicht herausfinden. Können Sie mir sagen, ob ich mit den Freiheitsgraden des Systems richtig liege? Und bin ich auf dem richtigen Weg? Wie soll ich vorgehen?

Eine weitere Sache ist, dass nichts geschrieben wird, wenn sich die Massen um ihren Schwerpunkt drehen. Muss ich dafür einen Sonderfall machen?

Sanya

Es gibt 2 Freiheitsgrade (so wie ich es verstehe), ich selbst würde damit beginnen, die möglichen Positionen des Stabmittelpunkts und dann die möglichen Positionen der Massen von der Stabmitte aus gesehen zu parametrisieren und von dort aus fortzufahren.

Lewis Miller

Das Problem besagt nicht, dass die Mitte des Stabs gezwungen ist, sich bei Consta auf einem Kreis zu bewegen

Physikopath

Ich stimme dem vorherigen Kommentar zu. Es gibt zwei Freiheitsgrade. Erstens die Kreisbewegung auf einem Kreis mit Radius a und zweitens die Rotation der Massen um ihren Massenmittelpunkt (wie Sie vorgeschlagen haben).

Lewis Miller

Fortsetzung: Geschwindigkeit, daher zwei verallgemeinerte Koordinaten. Die Massen sind Punkte, also keine Drehung.

Garyp

Die Frage besagt nicht ausdrücklich, dass sich die Stange frei um ihre Mitte drehen kann, aber ich denke, dass dies die Absicht ist. Ich würde auch annehmen, dass die gesamte Bewegung in einer Ebene stattfindet. Ich denke, diese Frage braucht etwas Wortschmieden.

Floris

Sofern es sich nicht um ein 2D-Problem handelt (wie @garyp annimmt), sehe ich drei Freiheitsgrade. Es gibt die Rotation des Massenzentrums und zwei mögliche Rotationen der beiden Massen um das Zentrum.

hebetudinös

Ihre kinetische Energie sollte als Summe zweier Energiequellen ausgedrückt werden: Bewegung um den Kreisradius

a

$a$ (was übrigens keine Funktion von ist

r_{1}

$\textbf{r}_1$ Und

r_{2}

$\textbf{r}_2$ ) und kinetische Rotationsenergie aus dem rotierenden Längenstab

l

$l$ (dh vom Radius

\frac{l}{2}

$\frac{l}{2}$ ).

Antworten (2)

Lagrange-Übung von Goldstein

Es gibt 2 Freiheitsgrade (so wie ich es verstehe), ich selbst würde damit beginnen, die möglichen Positionen des Stabmittelpunkts und dann die möglichen Positionen der Massen von der Stabmitte aus gesehen zu parametrisieren und von dort aus fortzufahren.
Das Problem besagt nicht, dass die Mitte des Stabs gezwungen ist, sich bei Consta auf einem Kreis zu bewegen
Ich stimme dem vorherigen Kommentar zu. Es gibt zwei Freiheitsgrade. Erstens die Kreisbewegung auf einem Kreis mit Radius a und zweitens die Rotation der Massen um ihren Massenmittelpunkt (wie Sie vorgeschlagen haben).
Fortsetzung: Geschwindigkeit, daher zwei verallgemeinerte Koordinaten. Die Massen sind Punkte, also keine Drehung.
Die Frage besagt nicht ausdrücklich, dass sich die Stange frei um ihre Mitte drehen kann, aber ich denke, dass dies die Absicht ist. Ich würde auch annehmen, dass die gesamte Bewegung in einer Ebene stattfindet. Ich denke, diese Frage braucht etwas Wortschmieden.
Sofern es sich nicht um ein 2D-Problem handelt (wie @garyp annimmt), sehe ich drei Freiheitsgrade. Es gibt die Rotation des Massenzentrums und zwei mögliche Rotationen der beiden Massen um das Zentrum.
Ihre kinetische Energie sollte als Summe zweier Energiequellen ausgedrückt werden: Bewegung um den Kreisradius $a$ (was übrigens keine Funktion von ist $\textbf{r}_1$ Und $\textbf{r}_2$ ) und kinetische Rotationsenergie aus dem rotierenden Längenstab $l$ (dh vom Radius $\frac{l}{2}$ ).

Marco Antonio Ridenti · Answer 1

Dieses Problem muss, wie die meisten Probleme aus Goldsteins „Klassischer Mechanik“, sorgfältig analysiert werden. Sie sind nicht einfach.

Trotzdem möchte ich eine Lösung für dieses Problem vorschlagen. Die ursprüngliche Frage betraf die Anzahl der Freiheitsgrade. Wir werden dorthin gelangen und auch den vollständigen Ausdruck für die kinetische Energie schreiben.

Wir haben zwei Teilchen. In drei Dimensionen, ohne Einschränkungen, ist die Anzahl der Freiheitsgrade $n = 2\cdot 3=6$ . Wir können jetzt fragen, wie viele Beschränkungen es gibt. Bevor wir diese Frage beantworten, erinnern wir uns daran, dass jedes System aus zwei Teilchen durch den Massenmittelpunktvektor beschrieben werden kann $\mathbf{R}$ , und die Positionen relativ zum Schwerpunkt, die wir nennen können $\mathbf{r}'_{1}$ Und $\mathbf{r}'_{2}$ . Im allgemeinen Fall ergibt sich die gesamte kinetische Energie aus der kinetischen Energie des Massenschwerpunkts plus der kinetischen Energie der Teilchen bezogen auf den Massenschwerpunkt, dh

T = T_{C M} + T_{1}^{'} + T_{2}^{'} = \frac{M}{2} {\dot{R}}^{2} + \frac{M_{1}}{2} {\dot{R}}_{1}^{2} + \frac{M_{2}}{2} {\dot{R}}_{2}^{2}

$T = T_{CM} + T'_{1} + T'_{2} = \frac{M}{2}\dot{\mathbf{R}}^2 + \frac{m_{1}}{2}\dot{\mathbf{r}}_{1}^2+\frac{m_{2}}{2}\dot{\mathbf{r}}_{2}^2$

Die Masse der beiden Teilchen ist gleich und der Mittelpunkt des Stabs muss sich auf einem Kreis bewegen. Daher fällt der Massenmittelpunkt (CM) mit dem Stabmittelpunkt zusammen und ist auch gezwungen, sich auf einem Kreis zu bewegen. Der CM kann nur durch eine Variable, den Winkel, beschrieben werden $\Theta$ in Bezug auf eine feste Achse - sagen wir mal $X$ - dessen Ursprung im Mittelpunkt der Kreisbahn fixiert ist. Wenn das CM auf eine kreisförmige Bewegung beschränkt ist, dann ist es äquivalent zu sagen, dass seine Trajektorie auf einer Ebene (–1 Freiheitsgrad) in einer kreisförmigen Bahn (–1 Freiheitsgrad) beschränkt ist. Also bleibt uns übrig $n = 6-2 = 4$ Freiheitsgrade.

Der $X, Y, Z$ Koordinaten des Massenmittelpunkts können leicht geschrieben werden als

R = (A \cos Θ, A Sünde Θ, 0)

$\mathbf{R} = (a\cos\Theta, a\sin\Theta, 0)$ Die Ableitung nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeit

\dot{R} = (- A \dot{Θ} Sünde Θ, A \dot{Θ} \cos Θ, 0)

$\dot{\mathbf{R}} = (-a\dot{\Theta}\sin\Theta, a\dot{\Theta}\cos\Theta, 0)$ Wir können jetzt die kinetische Energie des Massenschwerpunktes berechnen

T_{C M} = \frac{M}{2} (\dot{X^{2}} + \dot{Y^{2}} + \dot{Z^{2}}) = \frac{M}{2} R^{2} {\dot{Θ}}^{2} .

$T_{CM} = \frac{M}{2} (\dot{\mathbf{X}^2}+\dot{\mathbf{Y}^2}+\dot{\mathbf{Z}^2}) = \frac{M}{2} R^{2}\dot\Theta^{2}\,\, .$

Analysieren wir nun die Bewegung der Teilchen in Bezug auf die CM. Die Fragestellung beschränkt die Teilchen nicht auf eine ebene Bewegung, daher sollten wir den Stab betrachten, der sie verbindet, um sich in einem 3D-Raum zu bewegen. Die Einschränkung eliminiert einen weiteren Freiheitsgrad, also bleibt uns übrig $n=4-1=3$ . Sofern man die Stabbewegung nicht weiter auf eine Ebene einschränkt, hat das System genau $n=3$ Freiheitsgrade. Das beantwortet Ihre Frage, aber lassen Sie uns jetzt die kinetische Energie berechnen.

Die Bewegung der Teilchen in Bezug auf die CM kann durch sphärische Koordinaten beschrieben werden, die sich auf einen Rahmen beziehen, dessen Ursprung bei der CM zentriert ist. Also definieren wir a $x',y',z'$ Rahmen, dessen Ursprung am CM liegt und dessen Ausrichtung gleich der zuvor definierten ist $X,Y,Z$ rahmen. Die Positionen $\mathbf{r}'_{1}$ Und $\mathbf{r}'_{2}$ kann geschrieben werden als

R_{1, 2}^{'} = (\frac{l}{2} Sünde θ_{1, 2} \cos ϕ_{1, 2}, \frac{l}{2} Sünde θ_{1, 2} Sünde ϕ_{1, 2}, \frac{l}{2} \cos θ_{1, 2} \cos ϕ_{1, 2})

$\mathbf{r}'_{1,2} = (\frac{l}{2}\sin\theta_{1,2}\cos\phi_{1,2}, \frac{l}{2}\sin\theta_{1,2}\sin\phi_{1,2}, \frac{l}{2}\cos\theta_{1,2}\cos\phi_{1,2})$
In diesem Ausdruck haben wir bereits den Radius der zu fixierenden Bahn betrachtet, der gegeben ist durch

l / 2

$l/2$ . Die Engel

θ_{1}

$\theta_{1}$ Und

θ_{2}

$\theta_{2}$ , ebenso gut wie

ϕ_{1}

$\phi_{1}$ Und

ϕ_{2}

$\phi_{2}$ , sind durch eine Phase verbunden und ändern den Wert der kinetischen Energie nicht. In der Tat, wenn die Massen gleich sind und sie gezwungen sind, sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit und Geschwindigkeit zu bewegen, dann sind ihre kinetischen Energien gleich. Also berechnen wir einfach die kinetische Energie für ein Teilchen und multiplizieren sie mit zwei. Wir werden jetzt die Winkel verwenden

θ_{1}

$\theta_{1}$ Und

ϕ_{1}

$\phi_{1}$ , berechnen

T_{1}^{'}

$T'_{1}$ , wobei die Indizes von ihnen gelöscht werden.

T_{1}^{'} = \frac{M}{2} (\dot{X_{1}^{' 2}} + \dot{j_{1}^{' 2}} + \dot{z_{1}^{' 2}}) = \frac{M}{2} \frac{l^{2}}{4} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ϕ}}^{2} Sünde θ)

$T'_{1} = \frac{m}{2} (\dot{\mathbf{x}_{1}'^2}+\dot{\mathbf{y}_{1}'^2}+\dot{\mathbf{z}_{1}'^2}) = \frac{m}{2}\frac{l^2}{4}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin\theta)$

Wir können schließlich die gesamte kinetische Energie schreiben:

T = T_{C M} + T_{1}^{'} + T_{2}^{'} = \frac{M}{2} R^{2} {\dot{Θ}}^{2} + M \frac{l^{2}}{4} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ϕ}}^{2} Sünde θ)

$T = T_{CM} + T'_{1} + T'_{2} = \frac{M}{2} R^{2}\dot\Theta^{2} + m\frac{l^2}{4}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin\theta)$

Unter Verwendung der Definition der reduzierten Masse , dh $\mu=m^2/2m = m/2$ , kann die kinetische Energie geschrieben werden als

T = \frac{M}{2} R^{2} {\dot{Θ}}^{2} + \frac{μ}{2} l^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ϕ}}^{2} Sünde θ)

$T = \frac{M}{2} R^{2}\dot\Theta^{2} + \frac{\mu}{2} l^2(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin\theta)$ Das Problem hat drei Freiheitsgrade und die verallgemeinerten Koordinaten, die zur Lösung dieses Problems verwendet werden, sind

Θ, θ

$\Theta, \theta$ Und

ϕ

$\phi$ , wie in unserer Lösung definiert.

Physikopath · Answer 2

Ich denke, das beigefügte Manuskript ist die Antwort auf Ihre Frage ...

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Physikopath

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