Bedingung, dass die Lagrange-Energiefunktion h≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh\equiv\sum_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i }\dot q_i-L wäre gleich der mechanischen Energie EEE

Ich studiere Klassische Mechanik von Goldstein. Ich habe ein Problem gelöst, aber ich habe eine Frage.

Pro 2.18
Ein Massepunkt ist gezwungen, sich auf einem masselosen Reifen mit Radius a zu bewegen, der in einer vertikalen Ebene fixiert ist und sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine vertikale Symmetrieachse dreht. Ermitteln Sie die Lagrange-Bewegungsgleichungen unter der Annahme, dass die einzigen äußeren Kräfte von der Schwerkraft herrühren. Was sind die Bewegungskonstanten? Zeigen Sie, dass es, wenn ω größer als ein kritischer Wert ω0 ist, eine Lösung geben kann, bei der das Teilchen auf dem Reifen an einem anderen als dem unteren Punkt stationär bleibt, dass aber, wenn ω < ω0, der einzige stationäre Punkt für das Teilchen ist am unteren Rand des Reifens. Welchen Wert hat ω0?

Also bin ich wie diese Lösung hier vorgegangen .

Also hier, wenn wir nur eine verallgemeinerte Koordinate wählen θ (Polarwinkel), Energiefunktion H ist nicht dasselbe wie die Energie. Aber im Text (Kapitel über Lagrange) heißt es, dass wenn möglich v = v ( Q ) , H = E . Für dieses Problem v = M G A cos ⁡ θ , (oder negativ, je nachdem, wie Sie definieren θ oder Achse), also erfüllt es die Bedingung, dass das Potential nur von der verallgemeinerten Koordinate abhängt, nicht von der verallgemeinerten Geschwindigkeit. So H sollte sein E , aber anscheinend nicht. Was ist hier falsch?

Ich weiß, dass ein solcher Widerspruch nicht auftritt, wenn ich den Azimutwinkel als unabhängige Variable einstelle. Aber ich kann nicht sehen, warum ich das tun sollte (das Problem besagt, dass der Azimutwinkel keine unabhängige Variable ist und die Ableitung von H = E sagt dazu nichts.)

Sicherlich muss etwas mit meiner Argumentation nicht stimmen, denn wenn die Lagrangefunktion eines Systems ist L = 1 2 M j ' 2 + M G j , können wir die konstante horizontale kinetische Energie einsetzen 1 2 M X ' 2 (x ist hier keine verallgemeinerte Koordinate), aber das würde zerstören H = E . Kann mir das jemand erklären?

Antworten (1)

Die Tatsache, dass das Potenzial v nicht von Geschwindigkeiten abhängt, genügt es nicht, dass die Energiefunktion gleich der Energie ist.

Allgemein gilt die Energiefunktion

H ≡ ∑ ich ∂ L ∂ Q ˙ ich Q ˙ ich − L ,
gleich der mechanischen Energie E = T + v Wenn

  1. Das Potential hängt nicht von Geschwindigkeiten ab;
  2. Die kinetische Energie ist eine homogene Funktion zweiten Grades von den Geschwindigkeiten.

Auf der anderen Seite Systeme, die sowohl holonom als auch skleronom sind , dh die Positionen können geschrieben werden als R → A = R → A ( Q 1 , … , Q N ) , Bedingung 2 erfüllen. Dies ist so, weil in diesem Fall

T = 1 2 ∑ ich , J A ( Q ) ich J Q ˙ ich Q ˙ J ,
was befriedigt T ( Q , λ Q ˙ ) = λ 2 T ( Q , Q ˙ ) .

Offensichtlich ist das System, das Sie in Betracht ziehen, nicht skleronom. Der Reifen ist eigentlich eine zeitabhängige Beschränkung, so dass die Position des Massenpunkts beschrieben wird R → = R → ( θ , T ) . Somit, H ≠ E .

Danke. Tatsächlich habe ich die Herleitung des Lehrbuchs selbst noch einmal gelesen und festgestellt, dass es die zusätzliche Annahme gibt, auf die Sie hingewiesen haben. Ich bin sehr froh zu sehen, dass meine Argumentation richtig war.
Uh... aber da ist ein anderes Problem aufgetreten. Das Finden des Gleichgewichtswinkels bestand also darin, θ''=0 zu setzen. Wir erhalten θ=cos^-1(-sqrt(g/aw^2)). Aber wenn ich das effektive Potential (Veff=T+V-(ma^2θ^2)/2) verwende und den Punkt finde, an dem dVeff/dθ=0, gibt es einen anderen Wert, θ=cos^-1(sqrt( g/aw^2)). (Ich mag dieses effektive Potenzialthema nicht, aber so hat es unser Professor gemacht.) Ich bin mir nicht sicher, was der wahre Gleichgewichtswinkel von der Intuition ist. Da unser Professor E = h verwendet hat (was falsch ist), ändert seine Antwort auf magische Weise das Vorzeichen, um die Antwort kohärent zu machen, aber meine Antwort scheint einen Widerspruch zu ergeben.
Es gibt kein Quadrat. Es war ein Fehler.
Bedingung, dass die Lagrange-Energiefunktion h≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh\equiv\sum_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i }\dot q_i-L wäre gleich der mechanischen Energie EEE
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