Lagrange unter Zeittransformation

Question

Lagrange unter Zeittransformation

sbp

Gegeben ein Lagrange
$L (Q, \dot{Q}, T) = \sum_{ich J} A_{ich J} (Q) {\dot{Q}}_{ich} {\dot{Q}}_{J} - v (Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{F})$ $L(q,\dot{q},t)=\sum_{ij}a_{ij}(q)\dot{q}_i\dot{q}_j-V(q_1,q_2,\cdots,q_f)$ Zeigen Sie das unter einer Zeittransformation $t=\lambda T$ ( $\lambda$ = konstant), die Invarianz von $\int_1^2Ldt$ , in Bezug auf die Variation von $\lambda$ impliziert, dass die Energie null ist.

Meine Arbeit:

Grundsätzlich muss ich die Variation berechnen, also habe ich das getan,

δ \int_{1}^{2} L (Q, \dot{Q}, T) D T = δ \int_{1}^{2} L (Q, λ^{- 1} \dot{Q}, λ T) λ D T .

$\delta \int_1^2 L(q,\dot{q},t)dt = \delta \int_1^2 L(q,\lambda^{-1}\dot{q},\lambda T) \lambda dT.$ Wie gehe ich nun von hier aus vor?

Phönix87

Dies ist eine Folge des Satzes von Euler über homogene Funktionen en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function#Positive_homogeneity

sbp

@Phoenix87 Könnten Sie genauer sein? Ich kann die beiden nicht in Beziehung setzen.

QMechaniker

Aus welcher Quelle stammt das Problem? Welche Seite?

sbp

@Qmechanic: Es stammt aus diesem Buch, google.com/search?hl=en&as_q=rana+joag+classical+mechanics Problem # 6.5. Ich schätze, Sie werden online keine PDF-Kopie davon bekommen.

Phönix87

Sie wissen, dass der gegebene Lagrangian eine Funktion mit der Eigenschaft ist

f (x, λ \dot{x}, λ t) = λ f (x, \dot{x}, t)

$f(x,\lambda \dot x, \lambda t) = \lambda f(x,\dot x, t)$

Antworten (1)

Lagrange unter Zeittransformation

Dies ist eine Folge des Satzes von Euler über homogene Funktionen en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function#Positive_homogeneity
@Phoenix87 Könnten Sie genauer sein? Ich kann die beiden nicht in Beziehung setzen.
@Qmechanic: Es stammt aus diesem Buch, google.com/search?hl=en&as_q=rana+joag+classical+mechanics Problem # 6.5. Ich schätze, Sie werden online keine PDF-Kopie davon bekommen.
Sie wissen, dass der gegebene Lagrangian eine Funktion mit der Eigenschaft ist $f(x,\lambda \dot x, \lambda t) = \lambda f(x,\dot x, t)$

QMechaniker · Answer 1

Hinweise:

Verwenden Sie den Satz von Noether zweimal.
Da es keine explizite Zeitabhängigkeit gibt, ist die Energiefunktion $h:=\dot{q}^i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}-L$ ist eine Bewegungskonstante.
Die Noether-Gebühr für die Zeitdilatation ist das Produkt $Q=th$ von Zeit und Energie.
Seit der Noether-Ladung $Q$ ist eine Konstante der Bewegung, der Energie $h$ muss Null sein.

Zugegeben, die Aufgabe 6.5 in Rana & Joag wirkt etwas gekünstelt, anscheinend nur konstruiert, um eine Klassenzimmeraufgabe über Noethers Theorem zu machen.

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