Lagrangesches erstes Integral

Hinweis: Das ergibt der Satz von Noether

$$\begin{align} L\text{ has no }&x\text{-dependence} \cr \quad& \Downarrow&\quad\cr \text{momentum } &p_x \text{ is conserved}, \end{align}$$ Und $$\begin{align} L\text{ has no explicit }&t\text{-dependence} \cr \quad& \Downarrow&\quad\cr \text{energy } p_x\dot{x}+p_y\dot{y}&-L\text{ is conserved}. \end{align}$$

mit

$$L=\frac{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}{y}$$ und weil L keine Funktion von x ist, erhalten Sie das

$$\frac{\partial L}{\partial \dot x}=\frac{\dot x}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,y}=\text{constant}$$

von hier

$$\frac{\dot x}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,y}\mapsto \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,y(x)}=\text{constant}$$

oder

$$\sqrt{1+\frac{dy}{dx}^2}\,y(x)=k^2$$

$\newcommand{\bl}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\e}{\bl=} \newcommand{\p}{\bl+} \newcommand{\m}{\bl-} \newcommand{\mb}[1]{\mathbf {#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal {#1}} \newcommand{\mr}[1]{\mathrm {#1}} \newcommand{\gr}{\bl>} \newcommand{\les}{\bl<} \newcommand{\greq}{\bl\ge} \newcommand{\leseq}{\bl\le} \newcommand{\plr}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\blr}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\vlr}[1]{\left\vert#1\right\vert} \newcommand{\Vlr}[1]{\left\Vert#1\right\Vert} \newcommand{\lara}[1]{\left\langle#1\right\rangle} \newcommand{\lav}[1]{\left\langle#1\right|} \newcommand{\vra}[1]{\left|#1\right\rangle} \newcommand{\lavra}[2]{\left\langle#1\right|\left#2\right\rangle} \newcommand{\lavvra}[3]{\left\langle#1\right|#2\left|#3\right\rangle} \newcommand{\vp}{\vphantom{\dfrac{a}{b}}} \newcommand{\Vp}[1]{\vphantom{#1}} \newcommand{\hp}[1]{\hphantom{#1}} \newcommand{\x}{\bl\times} \newcommand{\ox}{\bl\otimes} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\qqlraqq}{\qquad\bl{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}\qquad} \newcommand{\qqLraqq}{\qquad\boldsymbol{\e\!\e\!\e\!\e\!\Longrightarrow}\qquad} \newcommand{\tl}[1]{\tag{#1}\label{#1}} \newcommand{\hebl}{\bl{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}}$

$\hebl$

Die Beltrami-Identität:

Wenn die Lagrange$\:L\plr{y,y',x}\:$eines Systems hängt nicht explizit ab$\:x$, das ist

$$\begin{equation} \dfrac{\partial L}{\partial x}\e 0 \tl{01} \end{equation}$$ dann aus der Euler-Lagrange-Gleichung $$\begin{equation} \dfrac{\mr d}{\mr dx}\plr{\dfrac{\partial L}{\partial y'}}\m\dfrac{\partial L}{\partial y}\e 0 \tl{02} \end{equation}$$ wir haben $$\begin{equation} \dfrac{\mr d}{\mr dx}\plr{y'\dfrac{\partial L}{\partial y'}\m L}\e 0 \tl{03} \end{equation}$$ So $$\begin{equation} \boxed{\:\:y'\dfrac{\partial L}{\partial y'}\m L\e \texttt{constant}\:\:}\quad \texttt{(Beltrami Identity)} \tl{04} \end{equation}$$

$\hebl$

Für Ihren Lagrange

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{\sqrt{\dot x ^2 \p \dot y ^2}}{y}\mr dt & \e \frac{\sqrt{1\p\plr{\dfrac{\dot y}{\dot x}}^2}}{y}\dot x\,\mr dt\e\frac{\sqrt{1\p\plr{\dfrac{\mr dy/\mr dt}{\mr dx/\mr dt}}^2}}{y}\dfrac{\mr dx}{\mr dt}\,\mr dt\\ &\e\frac{\sqrt{1\p\plr{\dfrac{\mr dy}{\mr dx}}^2}}{y}\mr dx\e\frac{\sqrt{1\p y'^{2}}}{y}\mr dx\\ \end{split} \tl{05} \end{equation}$$ das ist $$\begin{equation} L\plr{y,y',x}\e\frac{\sqrt{1\p y'^{2}}}{y} \tl{06} \end{equation}$$

Verwendung der Lagrange-Funktion$\eqref{06}$wir konnten die finden$\:x\m$parametrische Darstellung$\:\blr{x,y\plr{x}}\:$der Kurve direkt an ihr vorbei$\:t\m$parametrische Darstellung$\:\blr{x\plr{t},y\plr{t}}$, das sind die Bewegungsgleichungen.

$\hebl$

Hinweis zur Lösung

Fügen Sie die Lagrange-Funktion ein$\eqref{06}$in der Beltrami-Identität$\eqref{04}$finden

$$\begin{equation} f\plr{y,y'\e\dfrac{\mr dy}{\mr dx}}\e a\e \texttt{positive constant} \tl{H-01} \end{equation}$$ Gleichung lösen $\eqref{H-01}$gegenüber$\:\mr dx$finden $$\begin{equation} \mr dx\e g\plr{y}\mr dy \tl{H-02} \end{equation}$$ In Gleichung $\eqref{H-02}$Nehmen Sie eine geeignete bequeme Änderung von der Variablen vor$\:y\:$zu einer Winkelvariablen$\:\theta\:$ $$\begin{equation} y\e h\plr{\theta} \tl{H-03} \end{equation}$$ Gleichung umwandeln $\eqref{H-02}$zu sowas $$\begin{equation} \mr dx\e q\plr{\theta}\mr d\theta \tl{H-04} \end{equation}$$ Gleichung integrieren $\eqref{H-04}$haben $$\begin{equation} x\e u\plr{\theta} \tl{H-05} \end{equation}$$ Gleichungen $\eqref{H-03}$Und $\eqref{H-05}$Gib ein$\:\theta\m$parametrische Darstellung der Bewegungsbahn.