Bewegungskonstanten einer Lagrange-Funktion

Wenn$q_i$bezeichnet die verallgemeinerten Koordinaten, dann beachten Sie, dass eine Zeitverschiebung$t \to t+\epsilon$infinitesimal entspricht$q_i \to q_i + \epsilon \frac{d}{dt}q_i$und so$\delta q_i = \dot{q}_i$. Die Änderung im Lagrange ist,

$$\delta L = \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \ddot q_i = \frac{d}{dt}L$$

was die totale Ableitung ist, wenn$L$hat keine explizite Zeitabhängigkeit. Nach dem Satz von Noether haben wir eine Erhaltungsgröße

$$Q = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot q_i - L$$

die wir als Legendre-Transformierte des Lagrange-, also des Hamilton-Operators erkennen können und somit die Energie des Systems erhalten bleibt. Dies gilt eindeutig für Ihren Lagrange.

Wie Sie bemerkt haben, ist Ihr Lagrangian auch unter unveränderlich$\theta \to \theta + \alpha$wofür$\alpha \delta \theta = \alpha$, Und$\delta L =0$. Wir haben also eine Erhaltungsgröße, die wir als konjugierten Impuls identifizieren können, nämlich

$$p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = \frac12 mr^2.$$

Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten:$\frac{\partial L}{\partial \theta} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}$und da gibt es keine$\theta$Abhängigkeit,

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = \frac{d}{dt} p_\theta = 0.$$

In Ihrem Fall lautet die Antwort ja, so einfach ist das. Der Grund dafür ist, dass alle Bewegungskonstanten, mit denen Sie es zu tun haben, mit einer Translationssymmetrie zusammenhängen. Energie entspricht Translationen in der Zeit, Drehimpuls Rotationen (Translationen in$\theta$) und linearer Impuls zu Translationen.

Es gibt einen Satz, der Symmetrien der Lagrange- und Konstantenbewegung in Beziehung setzt: der Satz von Noether . Es besagt, dass es für jede Symmetrie eine zugehörige Bewegungskonstante gibt, die mit der Lagrangian- und der Symmetrietransformation berechnet werden kann. Das ist eine allgemeine Methode zur Berechnung von Bewegungskonstanten.

Für zeitunabhängige Lagrangianer ist eine Symmetrie (eine Transformation$x\mapsto x(\lambda)$so dass$L(x(\lambda),\dot{x}(\lambda))=L(x,\dot{x})$, Wo$x$bezeichnet kollektiv alle Koordinaten) impliziert eine Bewegungskonstante

$$\begin{align} C=&\sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}. \end{align}$$

Eine einfache Ableitung (ohne zu viele Details) ist

$$\begin{align} \frac{dC}{dt}=&\sum_i\left[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\right)\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}+ \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \frac{d}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}\right] \\ =& \sum_i\left[ \frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}+ \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial\lambda}\right] = \frac{dL}{d\lambda}=0. \end{align}$$

Nun zum Fall der Drehungen$\theta\mapsto \theta+\lambda$, unsere Erhaltungsgröße ist$C_\theta=\partial L/\partial\dot{\theta}=mr^2/2$, der Drehimpuls. Für eine Lagrange-Invariante unter$r\mapsto r+\lambda$,$C_r$ist der erhaltene lineare Impuls. Da dies in unserem Fall keine Symmetrie ist,$C_r$ist keine Bewegungskonstante.

Für die Zeitsymmetrie bräuchten wir eine verallgemeinerte Version des Satzes von Noether, aber da wir in diesem Fall speziell an der Beziehung zwischen Energie und Zeit interessiert sind, beachten Sie, dass die Ableitung der Energie ist

$$\begin{align} \frac{dH}{dt}=\frac{d}{dt}(p\dot{q}-L)= \frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{q}}\dot{q}-L\right)= \frac{dL}{dq}\dot{q}+\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}-\frac{dL}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t} \end{align}$$ und deshalb, $H$ist erhalten, wenn $L$ist explizit zeitunabhängig.

Normalerweise signalisiert die Beobachtung zyklischer Koordinaten in einem Langrangian eine konservierte Größe. Mit zyklisch meine ich ignorierbar oder im Grunde nicht vorhanden. Dafür solltest du Goldstein sehen.

Zweitens ermöglicht Ihnen der Satz von Noether, Konstanten der Bewegung zu identifizieren. Um Ihre Frage zu beantworten, ja, wir können einfach konservierte Größen beobachten, indem wir uns den Langrangian des Systems ansehen. Es macht Ihnen vielleicht Spaß, in einigen relativistischen Raum-Zeit-Metriken wie der von Karl Schwarzschild nach Erhaltungsgrößen zu suchen. Dies könnte ein lustiges und lehrreiches Beispiel sein. Es gibt natürlich noch viele mehr. Viel Glück.