Noethers Theorem für Raumtranslationssymmetrie

Translationssymmetrie im Sinne der Standardformulierung der Noether-Theoreme bedeutet, dass die Lagrange-Funktion invariant unter der Wirkung der Gruppe der räumlichen Translationen ist. Dies ist in Ihrem Beispiel nicht der Fall, weil$U$lässt eine solche Invarianz nicht zu.

Es gibt jedoch eine andere, physikalischere Version der Idee der Translationsinvarianz für ein physikalisches System:

Die Lösungsklasse der Bewegungsgleichung ist unter räumlichen Verschiebungen invariant.

Mit anderen Worten, wenn

$$x=x(t)$$ ist eine Lösung mit Anfangsbedingungen $$x(0)=x_0\:,\quad \frac{dx}{dt}|_{t=0}=\dot{x}_0\:,$$ die Lösung mit Anfangsbedingungen $$x(0)=x_0 + s\:,\quad \frac{dx}{dt}|_{t=0}=\dot{x}_0$$ muss sein $$x=x(t)+s$$ das heißt, die anfängliche Lösung änderte sich zu jedem Zeitpunkt um die gleiche anfängliche gegebene Übersetzung $t$. Diese Tatsache ist keineswegs trivial.

Diese Invarianzanforderung gilt für Ihr Beispiel, wie Sie direkt überprüfen können. Da diese Invarianzanforderung jedoch schwächer ist als die in der Standardversion des Noether-Theorems verwendete, impliziert dies nicht, dass der Impuls erhalten bleibt .

In der Lagrange-Formulierung sind die beiden Begriffe der Invarianz nicht äquivalent. Die Noethersche impliziert die zweite, aber die umgekehrte Implikation ist falsch. In Hamiltonscher Formulierung sind sie äquivalent, sofern wir uns auf kanonische Transformationen beschränken .

Es stellt sich jedoch die natürliche Frage, ob dieser schwächere Begriff der Invarianz Ihres Systems die Existenz einer Erhaltungsgröße (anders als der Impuls) impliziert. Die Antwort ist in unserem Fall positiv. Es gibt tatsächlich eine andere, schwächere Version des Noether-Theorems, die besagt, dass, wenn die Lagrange-Funktion nicht unter dem Einparameter ($\epsilon$) Gruppe von Transformationen

$$x \to x_\epsilon\:, \quad \dot{x} \to \dot{x}_\epsilon = \frac{d}{dt}x_\epsilon$$ aber in erster Ordnung im Parameter $\epsilon$, unterscheidet sich die transformierte Lagrangedichte von der anfänglichen nur durch eine totale Ableitung $$\frac{d}{dt}f(t,x) = \frac{\partial f}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial f}{\partial t}$$ dann gibt es eine Erhaltungsgröße entlang der Lösung der Bewegungsgleichungen: $$I(t,x, \dot{x}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \partial_\epsilon x_\epsilon|_{\epsilon=0} - f(t,x)\:.$$ Der Beweis ist eine triviale Verallgemeinerung des bekannten klassischen Beweises. Im betrachteten Fall $$L(t,x, \dot{x}) = \frac{m}{2}\dot{x}^2 - ax-b\:.$$ Da also unsere Gruppe von Transformationen ist $$x \to x+\epsilon\:, \quad \dot{x} \to \dot{x}\:,$$ wir haben $$\partial_{\epsilon}|_{\epsilon=0} L(t,x_\epsilon, \dot{x}_\epsilon)= -a = \frac{d}{dt} (-at)\:.$$ Wir schließen daraus, dass es eine Erhaltungsgröße gibt. Das ist $$I(t,x, \dot{x}) = m \dot{x} + at\:.$$ A posteriori ist dies aus den Bewegungsgleichungen selbst ersichtlich, ergibt sich aber auch aus einer schwachen Symmetrie der Lagrange-Funktion.

Der Lagrange ist

$$\begin{equation} L = \frac{1}{2} \dot{x}^2 - ax-b. \end{equation}$$

Einführung in die räumliche Übersetzung$x \rightarrow x+\Delta$für konstant$\Delta$wir sehen das

$$\begin{equation} L \rightarrow L' = \frac{1}{2} \dot{x}^2 - ax - a\Delta -b. \end{equation}$$

Daher ändert sich die Aktion als

$$\begin{equation} \delta S = \int{dxdt \; (L'-L)} = \int{dx dt \; (-a\Delta)} \neq 0. \end{equation}$$

Deshalb$U(x)$hat die Translationssymmetrie gebrochen. Es kann keinen zugehörigen Erhaltungsstrom geben.

I) Lassen Sie die Lagrange-Funktion sein

$$\tag{1} L~=~\frac{m}{2}v^2-U(x), \qquad v~:=~\dot{x}.$$

Lassen Sie die Kraft

$$\tag{2} F~=~-U'(x)$$

eine Konstante sein.

II) Unendlich kleine Übersetzungen

$$\tag{3} \delta x~=~\varepsilon$$

ist eine Quasisymmetrie

$$\tag{4} \delta L ~=~\varepsilon \frac{df}{dt}, \qquad f~:=~Ft$$

der Lagrange-Funktion (1). Hier$\varepsilon$ist ein infinitesimaler Parameter. Die entsprechende bloße Noether-Ladung ist

$$\tag{5} Q^0 ~:=~p, \qquad p~:=~\frac{\partial L}{\partial v}~=~mv,$$

also die entsprechende volle Noetherladung

$$\tag{6} Q~:=~Q^0-f~=~mv - Ft.$$

Der Satz von Noether besagt, dass die Größe (6) zeitlich erhalten bleibt, wie man leicht nachprüfen kann.

III) Das System besitzt auch andere Quasisymmetrien (und damit Erhaltungssätze nach dem Satz von Noether ). ZB die folgende infinitesimale Transformation

$$\tag{7} \delta x~=~\varepsilon t$$

ist eine Quasisymmetrie

$$\tag{8} \delta L ~=~\varepsilon \frac{df}{dt}, \qquad f~:=~mx+\frac{F}{2}t^2$$

der Lagrange-Funktion (1). Die entsprechende bloße Noether-Ladung ist

$$\tag{9} Q^0 ~:=~p t,$$

also die entsprechende volle Noetherladung

$$\tag{10} Q~:=~Q^0-f~=~mvt- mx -\frac{F}{2}t^2.$$

IV) Wenn man etwas weiter nachdenkt, kann man wahrscheinlich eine Quasi-Symmetrie konstruieren, deren zugehörige Noether-Ladung die Beschleunigung selbst ist.

Der Satz von Noether sagt uns, dass eine Erhaltungsgröße mit einer Symmetrie der Wirkung zusammenhängt , wobei die Wirkung$S$wird gegeben von:

$$S = \int L dt$$

Wo$L$ist die Lagrange-Funktion gegeben durch:

$$L = T - V$$

Da das Potenzial$V$ist eine Funktion der Position der Lagrange-Funktion und daher ist die Aktion unter Verschiebungen im Raum nicht symmetrisch.