Warum ist der Satz von Noether wichtig?

Question

Warum ist der Satz von Noether wichtig?

Defcon97

Ich fange gerade erst an, mich mit der analytischen Mechanik zu beschäftigen, daher mag diese Frage für einige von Ihnen seltsam oder trivial klingen.

Im Unterricht wurde ich in den Satz von Noether eingeführt, der besagt, dass es möglich ist, ein Erhaltungsgesetz zu finden, wenn die Lagrange-Funktion unter einer kontinuierlichen Gruppe von Transformationen unveränderlich ist.

Aber ein Lagrange-System mit $n$ Freiheitsgrade gehorchen den Euler-Lagrange-Gleichungen, die lauten:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{ich}}} - \frac{\partial L}{\partial q_{ich}} = 0

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

Pro $i = 1, ..., n$ .

Diese Gleichung repräsentiert ein System von $n$ Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die bereits hat $2n$ beliebige Konstanten in seiner allgemeinen Lösung.

Diese Konstanten sind offensichtlich in der Zeit zu erhalten, stellen also eigentlich Erhaltungssätze dar.

Meine Frage ist also, was ist der Nutzen eines Satzes, der Ihnen sagt, unter welchen Bedingungen es möglich ist, ein Erhaltungsgesetz zu finden, wenn wir bereits aus den Euler-Lagrange-Gleichungen wissen, dass ein Lagrange-System gilt $2n$ Naturschutzgesetze?

PML

Natürlich sind sie für den betrachteten Fall äquivalent. Es tut mir leid, wenn es so klang, als hätte ich gemeint, dass Sie etwas falsch geschrieben haben (oder Sie von Ihrem Lehrer in die Irre geführt wurden). Was ich meinte, ist, dass der Satz im Fall der Lagrange-Mechanik trivial erscheint, da er, wie Sie bemerkt haben, anhand der EL-Gleichungen leicht zu überprüfen ist. Tatsächlich macht das Konzept der invarianten kontinuierlichen Transformationen (Symmetrien in gewissem Sinne) den Satz allgemeiner.

PML

Übrigens würde ich mir keine Sorgen machen, dass die Konzepte im Wiki-Artikel schwer zu verstehen sind. Wenn Sie Physik (und Mathematik) weiter studieren, werden Sie glasklar verstehen, was da ist.

J. Murray

Es ist wichtig anzumerken, dass der Satz von Noether uns nicht nur sagt, wann Erhaltungssätze existieren, er sagt uns auch explizit , wie man die Erhaltungsgrößen und die zugehörigen Ströme konstruiert.

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/8626/2451 , physical.stackexchange.com/q/21572/2451 und Links darin.

J. Manuel

Wenn Sie die Euler-Lagrange-Gleichung für ein Teilchen unter einem konstanten Gravitationsfeld lösen (sei es das klassische Problem des freien Falls), erhalten Sie für die y-Achse die folgende Lösung:

y = \frac{1}{2} g t^{2} + c_{1} t + c_{2}

$y= \frac{1}{2}gt^2+c_1t+c_2$ Nachdem Sie die Anfangsbedingungen auf das Problem angewendet haben, werden Sie das erkennen

c_{1}

$c_1$ ist nur die Anfangsgeschwindigkeit

v_{0}

$v_0$ und

c_{2}

$c_2$ die Anfangshöhe

h_{0}

$h_0$ . Deshalb,

c_{1}

$c_1$ und

c_{2}

$c_2$ sind Geschwindigkeiten und Positionen. Sie sind nicht als „konservierte“ Mengen bekannt.

Magoo

Das ist so offensichtlich. Es ist wichtig, denn wenn wir es nicht hätten, müssten wir uns ein Noether einfallen lassen.

Antworten (3)

Warum ist der Satz von Noether wichtig?

Natürlich sind sie für den betrachteten Fall äquivalent. Es tut mir leid, wenn es so klang, als hätte ich gemeint, dass Sie etwas falsch geschrieben haben (oder Sie von Ihrem Lehrer in die Irre geführt wurden). Was ich meinte, ist, dass der Satz im Fall der Lagrange-Mechanik trivial erscheint, da er, wie Sie bemerkt haben, anhand der EL-Gleichungen leicht zu überprüfen ist. Tatsächlich macht das Konzept der invarianten kontinuierlichen Transformationen (Symmetrien in gewissem Sinne) den Satz allgemeiner.
Übrigens würde ich mir keine Sorgen machen, dass die Konzepte im Wiki-Artikel schwer zu verstehen sind. Wenn Sie Physik (und Mathematik) weiter studieren, werden Sie glasklar verstehen, was da ist.
Es ist wichtig anzumerken, dass der Satz von Noether uns nicht nur sagt, wann Erhaltungssätze existieren, er sagt uns auch explizit , wie man die Erhaltungsgrößen und die zugehörigen Ströme konstruiert.
Verwandte: physical.stackexchange.com/q/8626/2451 , physical.stackexchange.com/q/21572/2451 und Links darin.
Wenn Sie die Euler-Lagrange-Gleichung für ein Teilchen unter einem konstanten Gravitationsfeld lösen (sei es das klassische Problem des freien Falls), erhalten Sie für die y-Achse die folgende Lösung: $y= \frac{1}{2}gt^2+c_1t+c_2$ Nachdem Sie die Anfangsbedingungen auf das Problem angewendet haben, werden Sie das erkennen $c_1$ ist nur die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und $c_2$ die Anfangshöhe $h_0$ . Deshalb, $c_1$ und $c_2$ sind Geschwindigkeiten und Positionen. Sie sind nicht als „konservierte“ Mengen bekannt.
Das ist so offensichtlich. Es ist wichtig, denn wenn wir es nicht hätten, müssten wir uns ein Noether einfallen lassen.

Benutzer1379857 · Answer 1

Wir nennen normalerweise Gleichungen wie

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{ich}}} - \frac{\partial L}{\partial q_{ich}} = 0

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

"Bewegungsgleichungen", weil es Gleichungen sind, die uns sagen, wie die Variablen unseres Systems (hier $q_i$ ) entwickeln sich mit der Zeit. In der Tat im Allgemeinen die Lösung für $n$ Differentialgleichungen zweiter Ordnung beinhaltet $2n$ Integrationskonstanten (oder Anfangsbedingungen) in der Lösung. Die meisten Menschen würden diese Integrationskonstanten jedoch nicht als „Erhaltungssätze“ bezeichnen. Im allgemeinen Sprachgebrauch eine "konservierte Menge" $Q$ ist eine Funktion der Konfigurationsvariablen (hier $q_i$ und $\dot q_i$ ), die sich zeitlich nicht ändert, wenn sich die Konfigurationsvariablen gemäß den Bewegungsgleichungen entwickeln:

\frac{d}{d t} Q (q_{ich}, {\dot{q}}_{ich}) = 0.

$\frac{d}{dt} Q(q_i, \dot q_i) = 0.$

Beachten Sie, dass $Q(q_i, \dot q_i)$ hängt nicht davon ab $t$ ausdrücklich; es kommt nur darauf an $t$ soweit $q_i$ und $\dot q_i$ tun. Jedoch hängt eine anfängliche Bedingung davon ab $q_i$ , $\dot q_i$ , und $t$ . Du musst wissen $t$ um zu wissen, "wie weit man die Uhr zurückdrehen muss", um die Anfangsposition und -geschwindigkeit zu finden.

Ein glatter "Beweis" für Noethers Theorem lautet wie folgt. Angenommen, Sie haben eine differenzierbare Gruppe von Transformationen, die Ihre Lagrange-Invariante verlassen. Stellen Sie sich vor, Sie ändern einen Pfad im Konfigurationsraum durch eine infinitesimale Gruppenaktion mit einer winzigen Zahl $\varepsilon$ . Zum Beispiel eine infinitesimale Übersetzung in der $x$ -Richtung im 3D-Raum ( $i = 1, 2, 3$ ) würde durch gegeben werden

q_{1} \to q_{1} + ε

$q_1 \to q_1 + \varepsilon$

q_{2} \to q_{2}

$q_2 \to q_2$

q_{3} \to q_{3}

$q_3 \to q_3$

{\dot{q}}_{ich} \to {\dot{q}}_{ich}

$\dot q_i \to \dot q_i$

und eine infinitesimale Drehung in der $xy$ -Flugzeug würde durch gegeben werden

q_{1} \to q_{1} + ε q_{2}

$q_1 \to q_1 + \varepsilon q_2$

q_{2} \to q_{2} - ε q_{1}

$q_2 \to q_2 - \varepsilon q_1$

{\dot{q}}_{1} \to {\dot{q}}_{1} + ε {\dot{q}}_{2}

$\dot q_1 \to \dot q_1 + \varepsilon \dot q_2$

{\dot{q}}_{2} \to {\dot{q}}_{2} - ε {\dot{q}}_{1}

$\dot q_2 \to \dot q_2 - \varepsilon \dot q_1$

q_{3} \to q_{3}

$q_3 \to q_3$

{\dot{q}}_{3} \to {\dot{q}}_{3}

$\dot q_3 \to \dot q_3$

Unter diesen Transformationen ist die Lagrangian $L(q_i, \dot q_i)$ ändert seinen Wert nicht. Mit anderen Worten, die Änderung in der Lagrange-Funktion kann ausgedrückt werden als

δ L (q_{ich}, {\dot{q}}_{ich}) = ε EIN (q_{ich}, {\dot{q}}_{ich})

$\delta L(q_i, \dot q_i) = \varepsilon A(q_i, \dot q_i)$

wo $A = 0$ wenn die Gruppenwirkung eine Symmetrie ist. Hier ist der raffinierte Teil: Stellen Sie sich nun vor, dass der Parameter $\varepsilon$ ist zeitabhängig, dh $\varepsilon(t)$ . Für unsere beiden oben genannten Aktionen würden dann die Transformationen erfolgen

q_{1} \to q_{1} + ε

$q_1 \to q_1 + \varepsilon$

{\dot{q}}_{1} \to {\dot{q}}_{ich} + \dot{ε}

$\dot q_1 \to \dot q_i + \dot \varepsilon$

q_{2} \to q_{2}

$q_{2} \to q_{2}$

q_{3} \to q_{3}

$q_{3} \to q_{3}$

{\dot{q}}_{2} \to {\dot{q}}_{2}

$\dot q_{2} \to \dot q_{2}$

{\dot{q}}_{3} \to {\dot{q}}_{3}

$\dot q_{3} \to \dot q_{3}$

und

q_{1} \to q_{1} + ε q_{2}

$q_1 \to q_1 + \varepsilon q_2$

q_{2} \to q_{2} - ε q_{1}

$q_2 \to q_2 - \varepsilon q_1$

{\dot{q}}_{1} \to {\dot{q}}_{1} + ε {\dot{q}}_{2} + \dot{ε} q_{2}

$\dot q_1 \to \dot q_1 + \varepsilon \dot q_2 + \dot \varepsilon q_2$

{\dot{q}}_{2} \to {\dot{q}}_{2} - ε {\dot{q}}_{1} - \dot{ε} q_{1}

$\dot q_2 \to \dot q_2 - \varepsilon \dot q_1 - \dot \varepsilon q_1$

q_{3} \to q_{3}

$q_3 \to q_3$

{\dot{q}}_{3} \to {\dot{q}}_{3}

$\dot q_3 \to \dot q_3$

(wobei der obige Zusatzterm von der Produktregel bei der Differenzierung durch stammt $t$ ).

Jetzt, $\varepsilon(t)$ und $\dot \varepsilon(t)$ sind beides winzige Zahlen, die Pfade im Konfigurationsraum ändern. Das bedeutet, dass, wenn man einfach eine Taylor-Entwicklung erster Ordnung durchführt, die Änderung in $L$ unter diesen Transformationen kann ausgedrückt werden als

δ L = ε EIN + \dot{ε} B

$\delta L = \varepsilon A + \dot \varepsilon B$

bei dem die $A$ ist dasselbe $A$ wie zuvor, Bedeutung $A = 0$ wenn die Transformation eine Symmetrie ist. Nun, auf tatsächlichen Pfaden, $\delta S = 0$ für jede kleine Abweichung, die wir auf unserem Weg machen. (Das ist nur das Prinzip der geringsten Aktion.) Dazu gehört auch unsere winzige Gruppenaktionsvariante. Daher auf tatsächlichen Pfaden,

0 = δ S = \int δ L d t = \int \dot{ε} B d t = - \int ε \dot{B} d t .

$0 = \delta S = \int \delta L dt = \int \dot \varepsilon B dt = - \int \varepsilon \dot B dt.$

(Im letzten Schritt haben wir partiell integriert und Randbedingungen auferlegt $\varepsilon = 0$ an der Integrationsgrenze.)

Daher, wenn $\delta S$ ist zu sein $0$ für alle $\varepsilon$ , Wir müssen haben

\dot{B} = 0

$\dot B = 0$

So $B$ ist eine Erhaltungsgröße. Beachten Sie, dass wenn unsere Transformation keine Symmetrie wäre $A \neq 0$ und

\dot{B} = EIN

$\dot B = A$

bedeutet, dass $B$ würde sich mit der Zeit ändern und wäre keine Erhaltungsgröße. Dies schließt den Beweis ab, dass Symmetrien Erhaltungssätze liefern, und weist Sie auch an, wie Sie diese Erhaltungsgrößen finden.

Das ist jetzt alles schön und interessant. Symmetrien implizieren Erhaltungssätze. In gewissem Sinne haben wir verstanden, woher "Erhaltungsgrößen" kommen (Symmetrien). Erhaltungsgrößen sind in der Physik sehr nützlich, weil sie die Analyse des Systems normalerweise viel einfacher machen. Zum Beispiel werden selbst in der Einführungsphysik die Erhaltung von Impuls und Energie immer verwendet, um die Lösung für die Bewegung eines Teilchens viel einfacher zu machen. In komplizierteren Beispielen, wie zum Beispiel einem Gas aus vielen Teilchen, ist die Entwicklung des Systems viel zu kompliziert, um sie jemals beschreiben zu können. Wenn Sie jedoch einige Erhaltungsgrößen kennen (z. B. Energie), können Sie sich immer noch eine ziemlich gute Vorstellung davon machen, wie sich das System verhält.

In der Quantenfeldtheorie werden Quantenfelder auch von Lagrange-Operatoren bestimmt. Es ist jedoch oft schwierig, anhand experimenteller Daten genau herauszufinden, worauf die Lagrange-Funktion von Quantenfeldern basieren sollte. Etwas, das sich jedoch leicht aus experimentellen Daten ermitteln lässt, sind Erhaltungsgrößen, wie Ladung, Leptonzahl, Baryonzahl, schwache Hyperänderung und viele andere. Experimentatoren können herausfinden, was diese Erhaltungsgrößen sind, und dann werden Theoretiker Lagrange-Operatoren mit Symmetrien erfinden, die die richtigen Erhaltungsgrößen haben. Dies hilft Theoretikern sehr dabei, die grundlegenden Gesetze der Physik herauszufinden. Überlegungen zu Symmetrien und Erhaltungsgrößen spielten historisch gesehen eine große Rolle bei der Zusammenstellung des Standardmodells und spielen weiterhin eine entscheidende Rolle bei dem Versuch, herauszufinden, was dahinter liegt.

BEARBEITEN: Um Ihre Frage richtig zu beantworten, hat jedes System von Differentialgleichungen Integrationskonstanten (AKA-Anfangsbedingungen). Aus Bewegungsgleichungen, die von einem Lagrange-Operator abgeleitet werden (und alle bekannten physikalischen Gesetze können mit Lagrange-Operatoren geschrieben werden), haben wir jedoch zusätzliche Symmetrien, die eine wichtige physikalische Bedeutung haben. Darüber hinaus sind die exakten Lösungen von Differentialgleichungen normalerweise für kein mäßig komplexes System zu lösen. Daher ist das Auffinden von Anfangsbedingungen normalerweise Zeitverschwendung, während der Satz von Noether einfach anzuwenden ist.

Warum tut $\varepsilon$ kleine Bedeutung $\dot\varepsilon$ klein? Ist es eine Vermutung auf $\varepsilon$ ?
Nun, da Sie die Variationen auswählen können $\varepsilon$ , das kann man sich durchaus aufdrängen $\dot \varepsilon$ ist klein. Darüber hinaus besteht eine andere (vielleicht etwas rigorosere) Methode zur Durchführung der Variationsrechnung darin, die Variation im Pfad zu nehmen $\varepsilon \eta(t)$ , wo $\eta$ ist nicht infinitesimal, und $\varepsilon$ ist konstant. So lange wie $\dot \eta$ ist nach oben begrenzt, $\varepsilon \dot \eta$ wird schrumpfen wie $\varepsilon \to 0$ .
Für alle anderen, die sich für Details interessieren, $A$ muss eigentlich nicht sein $0$ damit die Transformation eine Symmetrie ist, $A$ muss nur eine Gesamtzeitableitung sein, sagen wir $A = \dot C$ . In einem solchen Fall, $B - C$ wäre dann die komplette Erhaltungsgröße. Ein gutes Beispiel hierfür sind Zeitübersetzungen. Unter einer Zeitübersetzung $q \to q + \varepsilon \dot q$ , unsere " $A$ " wäre $A = \dot L$ , und $B - L$ stellt sich als Energie heraus.

frei · Answer 2

Die 2n Konstanten im System der Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Lagrange-Gleichungen) sind nur die willkürlichen Anfangsbedingungen von verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten des Systems, die für einen Spezialfall die zeitliche Entwicklung des Systems bestimmen. Sie sind keine Erhaltungsgrößen des Systems. Erhaltungsgrößen folgen aus der funktionalen Form der Lagrange-Funktion.

JEB · Answer 3

Der Satz von Noether ist sehr wichtig, da er die "großen" Erhaltungssätze abdeckt:

Zeitinvarianz impliziert Energieerhaltung.

Translationsinvarianz (Homogenität des Raums) impliziert Impulserhaltung.

Rotationsinvarianz (Isotropie des Raums) impliziert Drehimpulserhaltung.

Darüber hinaus hängt es davon ab, was Sie für Ihr System halten: Betrachten Sie einen Ball in einer Kiste in der Schwerkraft. Es ist zeitunabhängig und Energie wird konserviert, aber Sie müssen die potentielle Energie zur kinetischen Energie hinzufügen. Der Impuls bleibt nicht erhalten, und das liegt daran, dass die potentielle Energie höhenabhängig ist. Beachten Sie, dass der Raum unter horizontalen Translationen unveränderlich ist, und tatsächlich bleiben die horizontalen Komponenten des Impulses erhalten (naja, bis er auf eine symmetriebrechende Wand trifft).

Ebenso bleibt der Drehimpuls des Foucaultschen Pendels nicht erhalten – es gibt eine Vorzugsrichtung im Raum, die durch die Erdachse definiert ist.

Kompliziertere Dinge wie die lokale Eichsymmetrie führen zu EM und QCD, und natürlich war die Eichsymmetrie, die Massenterme in der schwachen Wechselwirkung bricht, eine der Motivationen für das Higgs-Boson.

Es gibt auch diskrete Symmetrien, die zu diskreten Erhaltungssätzen führen – zum Beispiel Parität.

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