Ist an Noethers Theorem noch etwas dran?

Innerhalb des Newtonschen Rahmens der Mechanik sind Erhaltungssätze schwierig zu entwickeln und nicht auf den ersten Blick ersichtlich. Die Lagrange-Mechanik verallgemeinert das Konzept der Erhaltungssätze, indem sie "Symmetrien" ausnutzt. Die Verbindung zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen wird durch den Satz von Noether hergestellt.

Ein Objekt hat eine Symmetrie, wenn es unter einer Transformation invariant ist. Die Transformation könnte diskret oder kontinuierlich, lokal oder global sein, und das Objekt könnte die Aktion, Lagrange, Bewegungsgleichungen oder sogar die Koordinaten selbst sein.

Die Beziehung zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen im Satz von Noether gilt nur für kontinuierliche Symmetrien, umfasst jedoch sowohl globale als auch lokale Transformationen durch den ersten und zweiten Satz von Noether.

Der Vorteil dieses Ergebnisses ist, dass wir Symmetrien schnell erkennen können und daher ein Erhaltungsgesetz garantiert ist. Erhaltungssätze sind nützlich, um die Komplexität eines Problems durch Reduktionsverfahren zu reduzieren.

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Ich denke, der Hauptteil Ihrer Frage lautet wie folgt:

Gibt es zusätzliche Informationen über das System, die durch die Anwendung des Noether-Theorems im Gegensatz zur Verwendung des Newtonschen Rahmens gewonnen wurden?

Das Naturschutzgesetz selbst wird keine zusätzlichen Informationen enthalten. Zu sagen, dass ein Objekt in der Zeit erhalten bleibt, bedeutet einfach, das Verschwinden seiner Zeitableitung zu beobachten. Der Satz von Noether ermöglicht es uns jedoch tatsächlich, zusätzliche Informationen über unser System zu gewinnen.

Als Beispiel

Betrachten Sie ein Hamiltonsches System$(M,\omega ,H)$Wo$M$ist eine symplektische Mannigfaltigkeit,$\omega$ist eine symplektische 2-Form und$H$ist eine Hamiltonsche Funktion. Eine kontinuierliche Symmetrie des Hamiltonschen Systems ist ein Vektorfeld$X$An$M$so dass die Lie-Ableitung (bezeichnet als$\mathcal L_X$) von$\omega$Und$H$verschwindet,

$$\begin{equation} \mathcal L _X\omega=\mathcal L_XH=0 \end{equation}$$ Nach dem Lemma von Poincar, wenn $\iota _X\omega$ist dann lokal eine Skalarfunktion abgeschlossen $F:M\mapsto \mathbb R$kann gefunden werden, was bedeutet $\iota _X\omega =dF$, (Wo $\iota _X$ist das Innenprodukt), dh wenn $X$symplektisch ist, dann ist es in der Nachbarschaft hamiltonsch und daher $X_F(H)=\{H,F\}=0$Bedeutung $F$in Involution ist, was darauf hinweist, dass es entlang Integralkurven von konstant ist $X_H$, eine Erhaltungsgröße.

Mit der analytischen Mechanik kommt eine Abstraktion. Die Newtonsche Physik konnte mir nie wirklich etwas über die Eigenschaften von sagen$\omega$oder der Satz von Liouville usw. Aus diesem Blickwinkel gibt uns der Satz von Noether viel mehr Einblick in die Physik des Systems, als einfach nur ein Erhaltungsgesetz anzugeben.

Aber gleichzeitig ist Physik Physik, egal wie man ein System beschreibt, alle Ergebnisse sollten zusammenpassen und natürlich sollten wir keine neue Physik erwarten, indem wir das Problem umformulieren. Wir sind stattdessen dankbar, dass wir mehr lernen können.

Ich hoffe das hilft und ich habe deine Frage richtig verstanden?

Aus der Definition der Lagrange-Mechanik zeigt der Satz von Noether, dass die Erhaltung von Impuls und Energie aus der Invarianz gegenüber Zeit und Raum stammt.

Ja, das können wir auf Websites wie dieser lesen . Beachten Sie jedoch, dass wir unsere Zeit über die Bewegung des Lichts definieren, und auch unseren Raum.

Ist das Gegenteil wahr? Ist die Lagrange-Mechanik vollständig äquivalent zu den Erhaltungssätzen?

Sie sind nicht völlig gleichwertig, sie basieren auf dem Unterschied zwischen kinetischer und potentieller Energie. Und die potentielle Energie eines Pendels ist nur verborgene kinetische Energie. Die Schwerkraft wandelt innere kinetische Energie in äußere kinetische Energie um.

Oder fügt der Satz von Noether etwas hinzu?

Ich würde sagen, es fügt etwas hinzu. Aber ich habe es nie als besonders tief empfunden. Denken Sie an die Compton-Streuung, bei der Sie einen Teil der Photonenenergie in die Bewegung eines Elektrons umwandeln können. Theoretisch könnten Sie eine weitere Compton-Streuung am Restphoton durchführen und noch eine und noch eine. Im Grenzbereich ist keine E=hf-Photonenwellenenergie mehr vorhanden, sie wurde vollständig in die Bewegung von Elektronen umgewandelt. Und doch, und doch: In Paarproduktion kann man aus einem Photon ein Elektron (und ein Positron) machen. Ein Elektron besteht also gewissermaßen aus Bewegung. Ich denke, das ist tiefgreifend. Oder Energie-Impuls, wenn Sie es vorziehen.

Wenn ja, dann folgere ich daraus, dass dieser Satz keine weiteren Erkenntnisse darüber liefert, warum die Invarianten Masse, Impuls und Energie sind.

Ich neige dazu, zuzustimmen. Beachten Sie jedoch, dass die invariante Masse nicht invariant ist. Wenn Sie einen Ziegelstein fallen lassen, wird ein Teil seiner Massenenergie in kinetische Energie umgewandelt. Wenn Sie dies auflösen, bleibt ein Massendefizit zurück . Energie wird eingespart. IMHO ist es konserviert, weil alles aus Energie besteht, es ist grundlegend. Es ist das Einzige, was wir weder erschaffen noch zerstören können. Warum, weiß ich nicht.

Tatsächlich müssen Sie in der Lagrange-Mechanik noch Ihre konjugierten Variablen (daher der Impuls) und den Lagragian selbst (daher die Energie) definieren. Das bedeutet, dass Sie diese Invarianten nicht aus grundlegenderen Postulaten ableiten können. Hab ich recht?

Ich würde nein sagen, weil Energie und Schwung nicht wirklich zwei verschiedene Dinge sind. Sie sind zwei Aspekte von Energie-Impuls. Stellen Sie sich eine Kanonenkugel vor, die mit 1000 m/s relativ zu Ihnen durch den Weltraum fliegt. Man könnte sagen, es hat kinetische Energie, und man könnte sagen, es hat Schwung. Aber ersteres ist im Wesentlichen ein Maß für den Anhalteweg, während letzteres ein Maß für die Anhaltezeit ist. Sie können das eine nicht reduzieren, ohne das andere zu reduzieren. Sie sind zwei Seiten derselben Medaille. Und wieder definieren wir unsere Zeit und unseren Raum durch die Bewegung des Lichts. Bewegung ist König.

Nun Bonusfrage. Gibt es einen triftigen Grund, warum diese Invarianten alle proportional zur Masse sind? Und proportional zu Potenzen der Geschwindigkeit?

Sie sind proportional zur Masse, weil die Masse eines Körpers ein Maß für seinen Energiegehalt ist . Erinnern Sie sich an die Wellennatur der Materie und die Paarbildung sowie an Atomorbitale , in denen Elektronen „als stehende Wellen existieren“. Schauen Sie sich das Photon im Spiegelkasten in diesem Artikel an: http://arxiv.org/abs/1508.06478 (der 't Hooft ist nicht der Nobel 't Hooft). Stellen Sie sich dann den Photonenimpuls als Widerstand gegen die Bewegungsänderung für eine Welle vor, die sich linear bei c ausbreitet, und stellen Sie sich die Elektronenmasse als Widerstand gegen die Bewegungsänderung für eine Welle vor, die sich bei c dreht. Und ja, die Kraft der Geschwindigkeit ist in E=mc² enthalten, wo Sie durch c teilen, um von Energie zu Impuls zu gelangen, und wieder durch c für Masse. Es ist auch in ½ mv² für die Kanonenkugel, was mit dem Bremsweg zu tun hat. Das ist ein bisschen wie ein inverses Compton, bei dem man einem sich bewegenden Elektron Photonenenergie entzieht.