Folgt die Erhaltung des Wronskian aus dem Noether-Prinzip?

1. Lassen Sie uns zuerst den konservierten Wronskian diskutieren

   $$W(q_1,q_2)~=~q_1\dot{q}_2-q_2\dot{q}_1\tag{1}$$ für 1D-Systeme. Innerhalb des 1D-Falls scheint die Eigenschaft einer konservierten Wronski-Funktion (1) im Allgemeinen nicht über einen harmonischen Oszillator mit expliziter Zeitabhängigkeit hinaus zu gelten, dh das Hookesche Gesetz $$m\ddot{q}~\approx~-k(t)q ,\tag{2}$$ wo die Federkonstante$k(t)$kann explizit von der Zeit abhängen. (Der$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo eom.) In diesem Fall ist es verlockend, die beiden Lösungen zu betrachten$q_1$Und$q_2$als entlang zweier senkrechter Achsen auftretend (was wir nennen werden$q_1$Und$q_2$, bzw. der Einfachheit halber) in der Ebene$\mathbb{R}^2$. (Das Flugzeug$\mathbb{R}^2$kann mit der komplexen Ebene identifiziert werden$\mathbb{C}$, vgl. Antwort von Valter Moretti.) Mit anderen Worten, wir betrachten die 2D-Lagrange-Funktion $$L_2~:=~\frac{m}{2}(\dot{q}_1^2+\dot{q}_2^2)-\frac{k(t)}{2}(q_1^2+q_2^2).\tag{3}$$ Diese Lagrangefunktion (3) hat eine Rotationssymmetrie, was nach dem Satz von Noether bedeutet, dass der Drehimpuls $$L_3~:=~m(q_1\dot{q}_2-q_2\dot{q}_1)~=~m W(q_1,q_2),\tag{4}$$ und dadurch bleibt die Wronskische (1) zeitlich erhalten.

2. Als nächstes sollten wir erwähnen, dass der Ausgangspunkt von OP eng mit der kovarianten Hamiltonschen Formulierung verwandt ist, vgl. zB Art.-Nr. 1 und dies & diese Phys.SE Beiträge. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag, der ebenfalls mit einer Wronski-ähnlichen Konstruktion beginnt. (Im Folgenden werden wir ungerade Grassmann-Variablen verwenden , aber es kann äquivalent in der Sprache des äußeren Kalküls und der Keilprodukte umformuliert werden.) Wir beginnen mit der Aktion
   

   $$S_0[q]~=~\int\! dt~L_0,\qquad L_0~:=~\frac{m}{2}\dot{q}^2- V(q),\tag{5}$$ mit der Euler-Lagrange (EL)-Gleichung $$0~\approx~\frac{\delta S_0}{\delta q}~=~-m\ddot{q}-V^{\prime}(q). \tag{6}$$ Wir können eine Grassmann-ungerade nilpotente Transformation einführen$^1$ $${\rm s} q(t) ~=~ c(t), \qquad{\rm s}^2~=~0.\tag{7}$$ Betrachten Sie nun die Grassmann-ungerade Aktion $$\begin{align} S_1[q,c]~:=~&{\rm s}S_0~=~\int\! dt~L_1,\cr L_1~:=~&\frac{d}{dt}\left(m\dot{q}c\right)+ \frac{\delta S_0}{\delta q} c ~=~ m\dot{q}\dot{c}- V^{\prime}(q)c,\end{align}\tag{8}$$ mit EL-Gleichungen $$\begin{align} 0~\approx~&\frac{\delta S_1}{\delta q}~=~-m\ddot{c}-V^{\prime\prime}(q)c, \cr 0~\approx~&\frac{\delta S_1}{\delta c}~=~-m\ddot{q}-V^{\prime}(q). \end{align}\tag{9}$$ (Der Gesamtzeitableitungsterm in Gleichung (8) wird aus technischen Gründen eingeführt, um Zeitableitungen höherer Ordnung in der Lagrange-Funktion zu vermeiden$L_1$.) Die Grassmann-ungerade Aktion$S_1$besitzt konstruktionsbedingt die Grassmann-ungerade Symmetrie (7), weil${\rm s}$ist nilpotent, dh quadriert zu Null. Wir können daher eine Superversion des Satzes von Noether verwenden, um zu schließen, dass die entsprechende Noether-Ladung $$Q~=~c\frac{\partial L_1}{\delta \dot{q}} ~=~m c\dot{c} \tag{10}$$ wird auf der Schale konserviert $$\frac{dQ}{dt}~\approx~0. \tag{11}$$ Die Noether-Ladung (10) ist die punktmechanische Version des symplektischen 2-Form-Stroms in Lit. 1. Sie bildet den ersten Schritt in einer kovarianten Legendre-Transformation von der Lagrange- zur Hamilton-Formulierung. (Das Wort Kovarianz bezieht sich auf die Tatsache, dass Zeit und Raum gleichberechtigt behandelt werden. OP betrachtet nur die Punktmechanik, bei der die Kovarianz nicht sichtbar ist, aber die manifeste Lorentz-Kovarianz zu einem Problem in der Feldtheorie wird. Wir überlassen es dem Leser, zu verallgemeinern die obige Konstruktion zur Feldtheorie.)

3. Lassen Sie uns schließlich den Satz von Liouville diskutieren . Es gibt mehrere Versionen des Satzes von Liouville .

   Eine Version besagt, dass ein Hamiltonsches Vektorfeld $X_H=\{H,\cdot\}_{PB}$auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $(M,\omega)$ist divergenzfrei

   $$0~=~{\rm div} X_{H}~=~\sum_{i=1}^{2n} \frac{\partial X_H^i}{\partial z^i},\tag{12}$$ Wo$z^i$sind Darboux-Koordinaten / kanonische Koordinaten . Gl. (12) ist in der symplektischen Geometrie fest verdrahtet. Daraus folgt, dass Hamiltonsche Vektorfelder die symplektische Struktur bewahren $${\cal L}_{X_H}\omega~=~ 0.\tag{13}$$ Hamiltons Gleichungen lauten $$\dot{z}^i~\approx~\{z^i,H\}_{PB}~=~-X_H^i.\tag{14}$$ Bilden wir den Strom $$V^{\mu}~=~(V^0,V^i)~=~(1,-X_H^i)~\approx~(\dot{z}^0,\dot{z}^i)~=~\dot{z}^{ \mu},\tag{15}$$ wir können alternativ (12) schreiben als $$\sum_{\mu=0}^{2n}\frac{\partial V^{\mu}}{\partial z^{\mu}} ~=~0.\tag{16}$$ Hier haben wir die Notation eingeführt$z^0\equiv t$für die Zeit.

   Eine andere Version des Satzes von Liouville betrachtet eine Phasenraumverteilung$\rho \in {\cal F}(\mathbb{R}\times M)$dessen Gesamtzeitableitung

   $$0~\approx~\frac{d\rho}{dt}~=~\sum_{\mu =0}^{2n}\frac{\partial \rho}{\partial z^{\mu}} \dot{z}^{\mu} ~\approx~\frac{\partial \rho}{\partial t}+\{\rho,H\}_{PB}\tag{17}$$ verschwindet. Gl. (17) wird Liouville-Gleichung genannt. Sie drückt die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit aus. Als nächstes bilden wir den Strom $$J^{\mu}~=~\rho V^{\mu},\tag{18}$$ was divergenzfrei ist $$\sum_{\mu=0}^{2n}\frac{\partial J^{\mu}}{\partial z^{\mu}} ~\approx~0\tag{19}$$ wegen Gl. (12-18). Gl. (19) kann als Kontinuitätsgleichung angesehen werden . Beachten Sie, dass der Index$\mu$läuft über dynamisch aktive Phasenraumvariablen und Zeit. Gl. (19) unterscheidet sich deutlich von einem Noether-Erhaltungssatz $$\sum_{\mu=0}^{D-1}\frac{d j^{\mu}}{d x^{\mu}} ~\approx~0,\tag{20}$$ wo der index$\mu$läuft über dynamisch passive Raumzeitvariablen. Die beste Chance auf eine Verbindung mit Noethers Theorem scheint Gl. (17) und diesen Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

1. C. Crnkovic & E. Witten, Kovariante Beschreibung des kanonischen Formalismus in geometrischen Theorien. Veröffentlicht in Dreihundert Jahre Gravitation (Hrsg. SW Hawking und W. Israel), (1987) 676.

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$^1$Wir verwenden hier der Einfachheit halber die Konvention, dass Superableitungen und die Transformation${\bf s}$sind Linksableitung , dh

In Bezug auf Ihre erste Frage, wenn Sie zu komplexen Variablen übergehen, impliziert der Satz von Noether Ihr Erhaltungsgesetz. Der Punkt ist, dass Sie es mit zwei unabhängigen reellen Lösungen zu tun haben, während sich die Differentialgleichung nur auf eine Lösung bezieht. Der einfachste Weg, zwei unabhängige Lösungen einzuführen, besteht darin, sie als den reellen und komplexen Teil einer komplexen Lösung zu betrachten.

Betrachten Sie in der Praxis die Lagrange-Funktion: