Was bedeutet der Parameter im Satz von Noether?

Question

Was bedeutet der Parameter im Satz von Noether?

Orient

Gemäß der Erläuterung des Satzes von Noether in Peskin & Schroeders QFT-Buch, S. 17-18,

Wenn die Lagrange $\mathcal{L}(x)$ ändern

\begin{matrix} (2.10) & L (X) + a \partial_{μ} J^{μ} \end{matrix}

$\mathcal{L}(x)+\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu\tag{2.10}$ wenn das Feld

ϕ (x)

$\phi(x)$ ist Änderung an

\begin{matrix} (2.9) & ϕ^{'} (X) = ϕ (X) + a Δ ϕ (X), \end{matrix}

$\phi^\prime(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x),\tag{2.9}$ es gibt eine Strömung

\begin{matrix} (2.12) & J^{μ} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} Δ ϕ - J^{μ}, \end{matrix}

$j^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu,\tag{2.12}$ das ist konserviert.

Ich verstehe nicht, warum Sie den Parameter verwenden $\alpha$ obwohl es doch verschwunden ist. Welche Bedeutung hat es? im Buch, $\alpha$ bezieht sich auf einen infinitesimalen Parameter und $\Delta\phi$ ist eine gewisse Verformung des Feldes. Wenn $\Delta\phi$ ist eine Verformung des Feldes, warum nur das Feld als definieren

ϕ^{'} = ϕ + Δ ϕ ?

$\phi^\prime=\phi+\Delta\phi~?$

Knzhou

Wenn du bleibst

α

$\alpha$ explizit ist es einfacher zu sehen, welche Terme klein und welche Terme sehr klein sind. Das ist es wirklich.

meine2cts

α

$\alpha$ ist beliebig klein, verschwindet aber nicht.

Orient

@my2cts Was ich meine, ist, dass es beim Ableiten des Noether-Stroms verschwunden ist.

j^{μ}

$j^\mu$

Antworten (1)

Was bedeutet der Parameter im Satz von Noether?

Wenn du bleibst $\alpha$ explizit ist es einfacher zu sehen, welche Terme klein und welche Terme sehr klein sind. Das ist es wirklich.
@my2cts Was ich meine, ist, dass es beim Ableiten des Noether-Stroms verschwunden ist. $j^\mu$

QMechaniker · Answer 1

Die Annahme in Noethers erstem Theorem ist, dass es einen 1-Parameter gibt $^1$ Familie von Feld- und Raumzeittransformationen (mit Parameter $\epsilon\equiv\alpha\in\mathbb{R}$ ).
Wir wollen die entsprechende 1-Parameter-Familie von Wirkungsfunktionalen untersuchen $S(\epsilon)$ .
Die 1-Parameter-Transformation wird per Definition Quasisymmetrie (QS) iff genannt
$\begin{matrix} (QS) & {\frac{D S (ϵ)}{D ϵ} |}_{ϵ = 0} = Grenzintegral . \end{matrix}$ $\left. \frac{dS(\epsilon)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} ~=~\text{boundary integral}. \tag{QS}$
Obwohl der 1-Parameter $\epsilon$ bei der Formulierung des endgültigen Noether-Erhaltungsgesetzes letztendlich nicht benötigt wird, ist es bei der Definition und Identifizierung einer QS nützlich.
Ob man den 1-Parameter behalten will $\epsilon$ innerhalb oder außerhalb der $\Delta \phi$ Symbol ist eine herkömmliche Wahl. Beide Konventionen werden in der Literatur verwendet.
Lassen Sie uns der Vollständigkeit halber erwähnen, dass im Kontext von Noethers zweitem Theorem und Eichsymmetrie $\epsilon(x)$ ist eine Funktion der Raumzeit.
Sogar im Kontext von Noethers erstem Theorem manchmal der 1-Parameter $\epsilon$ wird zu einer Funktion befördert $\epsilon(x)$ der Raumzeit als Trick .

--

$^1$ Dies kann auf eine endliche Anzahl von Parametern verallgemeinert werden, aber lassen Sie es uns hier einfach halten.

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Orient

Knzhou

meine2cts

Orient

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QMechaniker

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