Spielt ein konstanter Faktor bei der Definition des Noetherstroms eine Rolle?

I) Lassen Sie uns der Einfachheit halber die Frage von OP im Zusammenhang mit der Punktmechanik wo ansprechen$q^i$sind verallgemeinerte Positionskoordinaten auf einer Mannigfaltigkeit$M$[anstatt die Feldtheorie mit Feldern zu betrachten$\phi^{\alpha}(x)$]. Die Frage von OP wurzelt im Unterschied zwischen

1. einerseits eine infinitesimale Variation

   $$\tag{1} q^i~\rightarrow \widetilde{q}^i~=~ q^i+\delta q^i$$ der verallgemeinerten Positionskoordinaten oder äquivalent $$\tag{2} \delta q^ ~:=~ \widetilde{q}^i-q^i;$$

2. und andererseits die eines Generators/Lie-Algebra-Elements/Vektorfelds

   $$\tag{3} Y~=~Y^i\frac{\partial}{\partial q^i},\qquad Y^i~=~Y^i(q),$$ was nicht infinitesimal ist (obwohl$Y$wird in der Literatur manchmal verwirrenderweise als „Infinitesimal-Generator“ bezeichnet).

Beide Konzepte$\delta$Und$Y$sind lineare Ableitungen , die die Leibniz-Regel erfüllen , und die Wechselbeziehung zwischen den beiden ist gegeben durch

$$\tag{4} \delta q^i~=~\epsilon Y^i,$$

Wo$\epsilon$in Gl. (4) ist ein infinitesimaler Parameter. Das mathematische Konzept eines Vektorfeldes $Y$ist bijektiv an den Begriff einer Strömung gebunden$^1$

$$\tag{5} \sigma:~]\!-\!c,c[ ~\times~ M~\to~ M, \qquad ]\!-\!c,c[ ~\subseteq~ \mathbb{R},$$

Wo

$$\tag{6} \frac{d}{d\epsilon}\sigma^i(\epsilon,q)~=~Y^i(\sigma(\epsilon,q)), \qquad\sigma^i(\epsilon=0,q)~=~q^i.$$ Ein Strom $\sigma$erfüllt $$\tag{7} \sigma^i(\epsilon,\sigma(\epsilon^{\prime},q))~=~\sigma^i(\epsilon+\epsilon^{\prime},q).$$ Beachten Sie, dass in Gl. (7), es versteht sich von selbst $\epsilon$Und $\epsilon^{\prime}$sind reelle Zahlen im Intervall $]\!-\!\frac{c}{2},\frac{c}{2}[ \subseteq \mathbb{R}$, und nicht unendlich klein.

II) Die (nackte) Noether-Ladung

$$\tag{8} Q ~=~p_i Y^i$$

ist (in diesem Fall) Impuls

$$\tag{9} p_i ~:= ~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}$$

Zeiten Generator$Y^i$. Insbesondere die Definition (5) der Noether-Ladung$Q$hängt nicht davon ab$\epsilon$Parameter.

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$^1$Wir ignorieren die Möglichkeit, dass die Domain$]\!-\!c,c[$kann von der Ausgangslage abhängen$q\in M$.

Bis zu einem gewissen Grad ist die Mehrdeutigkeit nur eine Frage der Notation. Einige Leute würden eine generische Ein-Parameter-Transformation schreiben als

$$\phi(x) \to \phi(x) + \alpha\delta\phi(x) + \mathcal O(\alpha^2)$$ so dass $\delta\phi(x)$ist der Koeffizient des kleinen Parameters $\alpha$wie bei Ausdrücken im gewöhnlichen Kalkül wie $$f(x+\alpha) = f(x) + \alpha f'(x) + \mathcal O(\alpha^2)$$ Mit dieser Notation wird die Transformation $$\phi(x) \to \phi(x) + \alpha$$ hätte $\delta\phi(x) = 1$, und in diesem Fall würden Sie das Peskin-Ergebnis wiederherstellen. Die Änderung der Notation ist wirklich nur Geschmackssache, wenn Sie mit Ein-Parameter-Familien von Transformationen arbeiten. Wie Sie betonen, für jede reelle Zahl $\alpha$, beide $\alpha\partial_\mu\phi$Und $\partial_\mu\phi$erhalten sind und ihre Erhaltungsgleichungen gleich sind.

Nachtrag. Wenn es darauf ankommt, ist in einem physikalischen Kontext alles, was wirklich zählt, die Äquivalenzklasse, die allen Ausdrücken für eine Erhaltungsgröße entspricht, die sich durch einen konstanten Multiplikationsfaktor ungleich Null unterscheiden (da ihre entsprechenden Erhaltungsgleichungen gleich sind), so das Problem hier ist wirklich nur eine Frage der Semantik.

Beifall!