Übersetzungen und Satz von Noether

Eine Übersetzung von$x^\nu \to x^\nu - \epsilon^\nu$entspricht einer infinitesimalen Transformation der Felder, durch

$$\phi \to \phi + \epsilon^\nu \partial_\nu \phi$$

da wir eher eine aktive als eine passive Transformation durchführen . Die Lagrange-Transformation als

$$\mathcal{L}\to \mathcal{L}+\epsilon^\nu \partial_\nu \mathcal{L}$$

durch Substitution$\phi$ins Lagrange. Beachten Sie, dass die Änderung bis zu einer totalen Ableitung erfolgt, und daher ist der Satz von Noether auf die Symmetrie anwendbar. Die erhaltene Stromdichte ist gegeben durch

$$j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}X(\phi)-F^\mu(\phi)$$

Wo$X=\delta\phi$Und$F^\mu$ist so das$\partial_\mu F^\mu=\delta \mathcal{L}$unendlich. Für unseren Fall erhalten wir den symmetrischen Spannungs-Energie-Tensor (analog zur allgemeinen Relativitätstheorie),

$$T^\mu_\nu=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - \delta^\mu_\nu \mathcal{L}$$

wobei das Kronecker-Delta mit der Minkowski-Metrik angehoben wird. Der Strom befriedigt,$\partial_\mu T^{\mu}_\nu = 0$, und die entsprechende Noether-Ladung,

$$E=\int \mathrm{d}^3 x \, T^{00}$$

ist die Gesamtenergie des Systems, während

$$P^i = \int \mathrm{d}^3 x \, T^{0i}$$

ist der$i$te Komponente des Gesamtimpulses des Feldes, wobei$i=(x,y,z)$nur. Ein Vorbehalt : Der durch das Noether-Theorem abgeleitete Spannungs-Energie-Tensor ist nicht immer symmetrisch und erfordert möglicherweise die Hinzufügung eines Terms, der die Kontinuitätsgleichung erfüllt und die Symmetrie in den Indizes gewährleistet.

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Alternative Methode

Erinnern Sie sich, um die Einstein-Feldgleichungen in der allgemeinen Relativitätstheorie zu erhalten, können wir die Einstein-Hilbert-Aktion variieren,

$$S\sim \int \mathrm{d}^4 x \, \sqrt{-g} \, \left( R + \mathcal{L}\right)$$

In ähnlicher Weise können wir in der Quantenfeldtheorie unsere Minkowski-Metrik zu einem generischen metrischen Tensor erheben und dadurch den kinetischen Term der Lagrange-Funktion durch kovariante Ableitungen ersetzen. Bis auf einige Konstanten ist der Spannungs-Energie-Tensor gegeben durch

$$T^{\mu\nu} \sim \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial (\sqrt{-g}\mathcal{L})}{\partial g^{\mu\nu}}$$

bewertet bei $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$, das ist genau die Definition, die wir implementieren, wenn wir die Einstein-Feldgleichungen für die allgemeine Relativitätstheorie erhalten.