Verwirrung über den Satz von Noether

In meiner Feldtheorieklasse haben wir kürzlich den Satz von Noether hergeleitet: Wir betrachten eine infinitesimale Transformation$\phi \to \phi + \epsilon \,\delta\phi$unseres Feldes, das Aktion bewahrt, dh$\delta S = 0$. Diese letzte Bedingung ist angeblich äquivalent zu$\delta \mathcal{L}$eine Divergenz sein, dh$\delta \mathcal{L} = \epsilon\,\partial_\mu I^\mu$. Dann kannst du erweitern

$$\begin{align} \delta \mathcal{L} &= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \epsilon \, \delta \phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \epsilon \partial_\mu(\delta\phi) \\ &= \left( - \partial_\mu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\right) \epsilon \, \delta \phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta\phi\right) \epsilon \end{align}$$

Der erste Term verschwindet durch die Gl. der Bewegung und so erhalten wir

$$\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta\phi - I^\mu\right) = 0$$ dh$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta\phi - I^\mu$ist ein Erhaltungsstrom.

Zwei Dinge verwirren mich hier:

Wir haben nicht verwendet, dass die Transformation eine Symmetrie des Systems sein soll (d.h$\delta S = 0$). In einer Punktteilchenumgebung (das ist ein Feld, das nur von der Zeit abhängt) können wir haben$L = T - V$mit$\partial V / \partial q \neq 0$, aber wir können uns eine Übersetzung ansehen$q \to q + \epsilon$was uns gibt

$$L \to L + \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \left( - t \frac{\partial V}{\partial q} \right)$$ So$L$nur bis zu einer "Divergenz" verändert und die resultierende Erhaltungsgröße ist$p + t \frac{\partial V}{\partial q}$, die zwar erhalten bleibt, obwohl unser System nicht raumhomogen war.

Die andere Quelle der Verwirrung (die meiner Meinung nach mit der ersten zusammenhängt) ist dieses Argument$\delta S = 0$ist äquivalent zu$\delta \mathcal{L} = \epsilon \partial_\mu I^\mu$. In$\mathbb{R}^n$, kann jede Skalarfunktion als Divergenz geschrieben werden, also scheint sich das nicht zu summieren. Ist$I^\mu$soll vielleicht nur eine Funktion der Felder sein?