Erzeugt der Satz von Noether auch Größen, die über dem Raum erhalten bleiben?

In der grundlegenden Lagrange-Mechanik (von der Art, die in einem klassischen Mechanikkurs im zweiten Jahr behandelt wird) nein, tut es nicht. Der Grund dafür ist, dass die Zeit in der grundlegenden Lagrange-Theorie eine besondere Rolle spielt: Sie ist der einzige unabhängige Parameter, von dem alles andere als Funktion ausgedrückt wird. Dies hängt damit zusammen, dass die Aktion das Integral der Lagrangefunktion über die Zeit ist, nicht über den Raum, und das wiederum bedeutet, dass die „klassische“ Version von Noethers Theorem nur für die Zeiterhaltung funktioniert.

Wenn man jedoch zur Feldtheorie verallgemeinert, ändert sich die Situation: In der Feldtheorie werden sowohl die Zeit- als auch die Raumkoordinaten als unabhängige Parameter betrachtet, sodass alles andere als Funktion von Zeit und Raum ausgedrückt wird. Insbesondere haben Sie anstelle der klassischen Lagrange-Dichte eine Lagrange-Dichte$\mathcal{L}$, wodurch Sie die Aktion als Raumzeitintegral ausdrücken können,

$$S = \int \mathcal{L}\mathrm{d}^4x$$

Die feldtheoretische Version des Satzes von Noether weist der Zeit also keinen besonderen Status zu. Statt zeitlicher Erhaltungssätze ($\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0$), gibt es Ihnen Raumzeit-Erhaltungsgesetze der Form

$$\frac{\partial j^\mu}{\partial x^\mu} = 0$$

Sie können dies in ein zeitliches Erhaltungsgesetz umwandeln, indem Sie den Strom integrieren$j^\mu$über ein raumähnliches Volumen (dh den gesamten Raum zu einem einzigen Zeitpunkt):

$$Q = \int_{t=\text{const}} g_{\mu\nu} j^\mu\mathrm{d}x^\nu\quad\to\quad\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0$$

aber Sie können es genauso gut in ein räumliches Erhaltungsgesetz umwandeln, indem Sie über ein raumzeitliches Volumen integrieren:

$$Q = \int_{x=\text{const}} g_{\mu\nu} j^\mu\mathrm{d}x^\nu\quad\to\quad\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x} = 0$$

Auf diese Weise ist es also möglich, mit dem Noether-Theorem ein räumliches Erhaltungsgesetz zu erstellen.

Ja, in einem feldtheoretischen Umfeld. Betrachten Sie a$3+1$der Einfachheit halber dimensionale flache Raumzeit. Der Satz von Noether führt zu einem Erhaltungssatz der Form

$$d_{\mu} J^{\mu}(x)=0,$$

dh der Noetherstrom$J^{\mu}(x)$ist ein divergenzloser Vierstrom. [Wir verwenden das Symbol$d_{\mu}$(statt$\partial_{\mu}$), um die Tatsache zu betonen, dass das Derivat$d_{\mu}$ist eine totale Ableitung, die sowohl eine implizite Differenzierung durch die Feldvariablen beinhaltet$\phi^{\alpha}(x)$, und explizite Differenzierung bzgl.$x^{\mu}$.]

Sagen wir, wir wollen eine Menge betrachten$Q$das ist die Unabhängigkeit der$x^1$-Koordinate. Definieren Sie die sogenannte „Gebühr“$Q=Q(x^1)$durch Integration$J^1(x)$über dem$2+1$Maßebene mit fixiert$x^1$-Koordinate$x^1$. Dann ist es einfach, mit a zu zeigen$2+1$dimensionaler Divergenzsatz, dass

$$d_{1} Q(x^1)=0$$

durch das Aufstellen entsprechender Randbedingungen.

Die obige Konstruktion kann weitgehend auf ein geometrisch kovariantes Rahmenwerk verallgemeinert werden, wobei die bevorzugte Richtung durch ein nicht verschwindendes Vektorfeld gegeben ist, das zeitartig, raumartig, lichtartig oder eine Kombination davon sein kann.