Über einen Trick zur Ableitung des Noetherstroms

I) Gegeben sei ein lokales Aktionsfunktional

$$S[\phi]~=~\int_V \mathrm{d}^nx ~{\cal L}, \tag{1}$$

mit der Lagrange-Dichte

$${\cal L}(\phi(x),\partial\phi(x),x). \tag{2}$$

[Wir überlassen es dem Leser, auf höher abgeleitete Theorien auszudehnen. Siehe auch z. B. Ref.-Nr. 1.]

II) Wir wollen eine infinitesimale Variation untersuchen$^1$

$$\delta x^{\mu}~=~\epsilon X^{\mu} \qquad\text{and}\qquad \delta\phi^{\alpha}~=~\epsilon Y^{\alpha}\tag{3}$$

von Raumzeitkoordinaten$x^{\mu}$und Felder$\phi^{\alpha}$, mit willkürlich$x$-abhängiges Infinitesimal$\epsilon(x)$, und mit einigen gegebenen festen erzeugenden Funktionen

$$X^{\mu}(x)\qquad\text{and}\qquad Y^{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),x).\tag{4}$$

Dann die entsprechende infinitesimale Variation der Aktion$S$nimmt die Gestalt an$^2$

$$\delta S ~\sim~ \int_V \mathrm{d}^n x \left(\epsilon ~ k + j^{\mu} ~ d_{\mu} \epsilon \right) \tag{5}$$

für einige Strukturfunktionen

$$k(\phi(x),\partial\phi(x),\partial^2\phi(x),x)\tag{6}$$

und

$$j^\mu(\phi(x),\partial\phi(x),x).\tag{7}$$

[Man kann zeigen, dass einige Begriffe in der$k$Strukturfunktion (6) sind proportional zu eoms, die typischerweise von zweiter Ordnung sind, und daher die$k$Strukturfunktion (6) kann von Raumzeitableitungen zweiter Ordnung abhängen.]

III) Als nächstes nehmen wir an, dass die Aktion$S$hat eine Quasisymmetrie$^3$zum$x$-unabhängig unendlich klein$\epsilon$. Dann Gl. (5) reduziert sich auf

$$0~\sim~\epsilon\int_V \mathrm{d}^n x~ k. \tag{8}$$

IV) Lassen Sie uns nun auf die Frage von OP zurückkommen. Da Gl. (8) für alle Off-Shell-Feldkonfigurationen gilt, können wir zeigen, dass Gl. (8) ist nur möglich, wenn

$$k ~=~ d_{\mu}k^{\mu} \tag{9}$$

ist eine totale Divergenz. (Hier beziehen sich die Wörter on-shell und off-shell darauf, ob die eoms erfüllt sind oder nicht.) Genauer gesagt gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Wenn wir wissen, dass Gl. (8) gilt für jeden Integrationsbereich$V$, können wir Gl. (9) nach Lokalisierung.

2. Wenn wir nur wissen, dass Gl. (8) gilt für einen einzelnen festen Integrationsbereich$V$, dann ist der Grund für Gl. (9) ist, dass die Euler-Lagrange-Ableitungen der Funktion$K[\phi]:=\int_V \mathrm{d}^n x~ k$muss identisch Null sein. Deswegen$k$selbst muss eine totale Divergenz sein, aufgrund eines algebraischen Poincare-Lemmas des sogenannten Bivariationskomplexes, siehe z. 2. [Man beachte, dass es im Prinzip topologische Hindernisse im Feldkonfigurationsraum geben könnte, die diesen Beweis von Gl. (9).] Siehe auch diese verwandte Phys.SE-Antwort von mir.

V) Man kann zeigen, dass die$j^\mu$Strukturfunktionen (7) sind genau die nackten Noetherströme. Als nächstes definieren Sie die vollständigen Noether-Ströme

$$J^{\mu}~:=~j^{\mu}-k^{\mu}.\tag{10}$$

Auf der Schale, nach partieller Integration, Gl. (5) wird

$$\begin{align} 0~\sim~~~~~&\text{(boundary terms)}~\approx~ \delta S \cr ~\stackrel{(5)+(9)+(10)}{\sim}& \int_V \mathrm{d}^n x ~ J^{\mu}~ d_{\mu}\epsilon \cr ~\sim~~~~~& -\int_V \mathrm{d}^n x ~ \epsilon~ d_{\mu} J^{\mu} \end{align}\tag{11}$$

für Willkür$x$-abhängiges Infinitesimal$\epsilon(x)$. Gleichung (11) ist genau die gesuchte Gleichung von OP. (*).

VI) Gleichung (11) impliziert (über das fundamentale Lemma der Variationsrechnung ) das Erhaltungsgesetz

$$d_{\mu}J^{\mu}~\approx~0, \tag{12}$$

in Übereinstimmung mit dem Satz von Noether.

Verweise:

1. PK Townsend, Noether-Theoreme und höhere Ableitungen, arXiv:1605.07128 .

2. G. Barnich, F. Brandt und M. Henneaux, Lokale BRST-Kohomologie in Eichtheorien, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

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$^1$Seit der$x$-Abhängigkeit von$\epsilon(x)$nur ein von uns auferlegter künstlicher Trick sein soll, können wir davon ausgehen, dass es keine Ableitungen von gibt$\epsilon(x)$im Transformationsgesetz (3), da solche Terme ohnehin verschwinden würden, wenn$\epsilon$ist$x$-unabhängig.

$^2$ Notation: Die$\sim$Symbol bedeutet Gleichheits-Modulo-Randausdrücke. Das$\approx$symbol bedeutet gleichheit modulo eqs. der Bewegung.

$^3$Eine Quasisymmetrie einer lokalen Aktion$S=\int_V d^dx ~{\cal L}$bedeutet, dass die infinitesimale Änderung$\delta S\sim 0$ist ein Randterm unter der Quasisymmetrietransformation.