Was ist die tatsächliche Form des Noetherstroms in der Feldtheorie?

Question

Was ist die tatsächliche Form des Noetherstroms in der Feldtheorie?

Physik
Noethers-Theorem
Erhaltungsgesetze
lagrangianischer Formalismus
Variationsprinzip
Klassische-Feld-Theorie

Foshiba

Lass uns in Erwägung ziehen $N$ unabhängige Skalarfelder, die die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen erfüllen und mit bezeichnet werden $\phi^{(i)}(x) \ ( i = 1,...,N)$ , und werden in einer Region erweitert $\Omega$ in einem $D$ -dimensionales Modell Raumzeit $\mathcal{M}_D$ . Betrachten Sie nun die klassische Lagrange-Dichte, $\mathcal{L}(\phi^{(i)}, \partial_\mu \phi^{(i)}, x^\mu)$ . Wir wenden die folgende infintesimale Fixed-Boundary-Transformation auf an $\mathcal{M}_D$ .

\begin{aligned} (1) & X \to {\tilde{X}}^{μ} & \equiv X^{μ} + δ X^{μ} (X), \\ (2) & so dass, δ X^{μ} |_{\partial Ω} & = 0, \\ (3) & und die Felder transformieren sich wie folgt: ϕ^{(ich)} (X) & \to {\tilde{ϕ}}^{(ich)} (\tilde{X}) \equiv ϕ^{(ich)} (X) + δ ϕ^{(ich)} (X) . \end{aligned}

$\begin{align*} x \to \widetilde{x}^\mu &\equiv x^\mu + \delta x^\mu (x), \tag{1} \\ \text{such that, }\ \delta x^\mu\Big{|}_{\partial\Omega}&=0, \tag{2} \\ \text{and the fields transform as: }\ \phi^{(i)}(x) &\to \widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}) \equiv \phi^{(i)} (x) + \delta\phi^{(i)} (x). \tag{3} \\ \end{align*}$

Nach meinen Berechnungen ist die Lagrange-Dichte bis zur ersten Ordnung in der Variation gegeben durch:

\begin{matrix} (4) & δ L = \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{(ich)})} δ ϕ^{(ich)} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{(ich)})} \partial_{v} ϕ^{(ich)} δ X^{v} + L δ X^{μ}) - L \partial_{μ} (δ X^{μ}) \end{matrix}

$\boxed{ \delta \mathcal{L} = \partial_\mu \Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\delta\phi^{(i)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\partial_\nu \phi^{(i)} \delta x^\nu + \mathcal{L} \delta x^\mu \Big) - \mathcal{L} \partial_\mu (\delta x^\mu) }\tag{4}$

Daher ist der erhaltene Strom

\begin{matrix} (5) & J^{μ} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{(ich)})} δ ϕ^{(ich)} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{(ich)})} \partial_{v} ϕ^{(ich)} δ X^{v} + L δ X^{μ} - F^{μ} \end{matrix}

$\boxed{ J^{\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\delta\phi^{(i)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\partial_\nu \phi^{(i)} \delta x^\nu + \mathcal{L} \delta x^\mu - F^\mu } \tag{5}$ Wo

F^{μ}

$F^\mu$ ist ein beliebiges Feld, das verschwindet

\partial Ω

$\partial \Omega$ .

Die meisten Lehrbücher ignorieren jedoch den zweiten und den dritten Begriff im obigen Ausdruck. Vergleiche zum Beispiel mit Peskin und Schroeder (S.18), die Folgendes festlegen:

\begin{matrix} (6) & J^{μ} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{(ich)})} δ ϕ^{(ich)} - F^{μ} . \end{matrix}

$J^{\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\delta\phi^{(i)} - F^\mu. \tag{6}$

Als weiteres Beispiel ignoriert Schweber (S. 208) alle Terme bis auf den ersten in der Variation der Lagrange-Dichte und schreibt:

\begin{matrix} (7) & δ L = \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{(ich)})} δ ϕ^{(ich)}) . \end{matrix}

$\delta \mathcal{L} = \partial_\mu \Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}\delta\phi^{(i)} \Big).\tag{7}$

Also, was ist hier los? Übersehe ich etwas? Wir scheinen die gleichen Annahmen getroffen zu haben, kommen aber zu unterschiedlichen Ergebnissen. Liege ich falsch oder sind sie es?

BEARBEITEN : Bedingung (2) ist unnötig, da sie bei der Ableitung des Stroms nie verwendet wurde. Bitte ignorieren Sie seine Präsenz im obigen Text.

Foshiba

Hier ist eine Ableitung meines Ergebnisses, wenn Sie lesen möchten.

Antworten (4)

Was ist die tatsächliche Form des Noetherstroms in der Feldtheorie?

Hier ist eine Ableitung meines Ergebnisses, wenn Sie lesen möchten.

QMechaniker · Answer 1

Gl. (5) ist (bis auf Faktoren des infinitesimalen Parameters $\varepsilon$ ) der Standardausdruck für den vollen Noetherstrom . Hier:
- $\delta x^{\mu}$ ist die sogenannte horizontale Komponente der infinitesimalen Variation;
- $\delta \phi -\frac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}} \delta x^{\mu}$ ist die sogenannte vertikale Komponente der infinitesimalen Variation;
- $F^{\mu}$ ist ein Verbesserungsterm bei Quasisymmetrie .
Der Hauptpunkt ist, dass Schweber (7), Peskin & Schroeder (6) nur Situationen mit rein vertikalen Transformationen betrachten, dh Situationen, in denen $\delta x^{\mu}=0$ .
Erwähnen wir, dass der letzte Term in Gl. (4) wird durch die jakobinischen Beiträge aus der Integrationsmaßnahme aufgehoben. Daher ist es in Gl. (5).
Schließlich scheint es wichtig zu erwähnen, dass die Randbedingung (2) von OP in wichtigen Anwendungen oft nicht erfüllt ist, wie z . Siehe zB diesen Phys.SE Beitrag. Daher sollte die Randbedingung (2) entsprechend gelockert werden. Ebenso der Verbesserungsterm $F^{\mu}$ ist kein beliebiges Feld, das an der Grenze verschwindet, wie OP (v3) unter Gl. (5). Stattdessen der Verbesserungsterm $F^{\mu}$ wird durch die Quasisymmetrie diktiert, die festlegt $F^{\mu}$ bis zu einer divergenzfreien Laufzeit.

Die Unterscheidung zwischen horizontalen und vertikalen infinitesimalen Variationen scheint darauf hinzudeuten, dass es sich um linear unabhängige Größen handelt, was sie eindeutig nicht sind. Was meinen Sie also, wenn Sie nur die vertikale Transformation betrachten ? Stellst du ein $\delta x^\mu = 0$ ? Wenn $\delta \phi$ wird induziert durch $\delta x^\mu$ , dann würde das auch das Verschwinden der vertikalen Variation bedeuten. Was vermisse ich?
Nun, das ist ein Missverständnis. Ich habe die Antwort mit einer hoffentlich klareren Formulierung aktualisiert.
Danke schön. Ich verstehe deine Meinung. Ich möchte noch eine letzte Frage zu Ihrer Aussage stellen $F^\mu$ ist notwendigerweise durch Quasisymmetrie diktiert. Da wir das wissen $\int_\Omega \partial_\mu F^\mu = F^\mu\Big|_{\partial \Omega}$ , können wir der Variation der Aktion einfach eine willkürliche Divergenz hinzufügen, vorausgesetzt, wir erfüllen sie $F^\mu\Big|_{\partial \Omega} = 0$ . Ich sehe nicht ein, warum wir die Struktur dieses Feldes noch weiter einschränken sollten. Vielleicht ist es in bestimmten Situationen praktisch, aber es sollte nicht notwendig sein . Könnten Sie bitte Ihren Standpunkt erläutern?

Bence Racskó · Answer 2

Der Zweck dieser Antwort besteht darin, die Antwort von Knzhou näher zu erläutern. Wir haben folgende Aussage:

Satz: Angenommen, das $\delta$ ist eine allgemeine (dh nicht unbedingt vertikale) Quasisymmetrie der Wirkung $S$ . Dann gibt es eine äquivalente vertikale Quasisymmetrie $\delta^\ast$ , unter denen die Wirkung bei gleichem Noetherstrom ebenfalls quasi-invariant ist.

Diese Aussage hat zwei Vorbehalte:

Obwohl die vollen Noetherströme äquivalent sind, sind die Verteilung des „nackten“ Noetherstroms und der „Verbesserungsterm“ in beiden Fällen nicht gleich. Insbesondere wenn $\delta$ ist eine exakte Symmetrie, $\delta^\ast$ wird im Allgemeinen eine Quasisymmetrie sein.
Die entsprechende vertikale Symmetrie $\delta^\ast$ ist eine verallgemeinerte Symmetrie im Allgemeinen, auch wenn $\delta$ ist eine gewöhnliche Symmetrie. Der Unterschied zwischen den beiden wird im Hauptteil der Antwort erklärt.

Angenommen, die Aktion ist

S [ϕ] = \int_{Ω} L (X, ϕ (X), \partial ϕ (X)) D^{N} X,

$S[\phi]=\int_\Omega\mathcal L(x,\phi(x),\partial\phi(x))d^nx,$ Wo

Ω

$\Omega$ ist ein Kompakt

n

$n$ dimensionale Domäne der Integration, das Feld ist

ϕ^{i} (x)

$\phi^i(x)$ mit

m

$m$ Komponenten u

n

$n$ unabhängige Variablen

x^{μ}

$x^\mu$ . Der Einfachheit halber wird ein Lagrangian erster Ordnung angenommen, aber das Ergebnis ist qualitativ auch für den Fall höherer Ordnung gültig (dh die spezifischen Formeln sind unterschiedlich, aber das Gesamtergebnis ist dasselbe).

Wir betrachten zunächst eine Variante $\delta$ gegeben von

X^{' μ} = X^{μ} + ϵ δ X^{μ}, ϕ^{' ich} (X^{'}) = ϕ^{ich} (X) + ϵ δ ϕ^{ich} (X) .

$x^{\prime\mu}=x^\mu+\epsilon\delta x^\mu,\quad\phi^{\prime i}(x^\prime)=\phi^i(x)+\epsilon\delta\phi^i(x).$ Wir nehmen an, dass diese Variation eine Off-Shell-Quasisymmetrie der Aktion ist, dh

δ S [ϕ] = \int_{Ω} D_{μ} F^{μ} D^{N} X

$\delta S[\phi]=\int_\Omega d_\mu F^\mu\ d^nx$ für einige Verbesserung Strom

F^{μ}

$F^\mu$ . Lassen

L = L d^{n} x

$L=\mathcal Ld^nx$ der Lagrange sein

n

$n$ -Bilden und definieren Sie die Gesamtvariation

δ_{T} L

$\delta_T\mathcal L$ der Lagrange-Dichte zu sein

δ L = δ_{T} L D^{N} X .

$\delta L=\delta_T\mathcal L\ d^nx.$

Da OP richtig abgeleitet hat, haben wir

δ_{T} L = E_{ich} (L) (δ ϕ^{ich} - \partial_{μ} ϕ^{ich} δ X^{μ}) + D_{μ} [\frac{\partial L}{\partial ϕ_{μ}^{ich}} δ ϕ^{ich} - (\frac{\partial L}{\partial ϕ_{μ}^{ich}} ϕ_{v}^{ich} - L δ_{v}^{μ}) δ X^{v}] = E_{ich} (L) (δ ϕ^{ich} - \partial_{μ} ϕ^{ich} δ X^{μ}) + D_{μ} [\frac{\partial L}{\partial ϕ_{μ}^{ich}} (δ ϕ^{ich} - \partial_{v} ϕ^{ich} δ X^{v}) + L δ X^{μ}] = E_{ich} (L) δ^{*} ϕ^{ich} + D_{μ} [\frac{\partial L}{\partial ϕ_{μ}^{ich}} δ^{*} ϕ^{ich} + L δ X^{μ}],

$\delta_T\mathcal L=E_i(L)(\delta\phi^i-\partial_\mu\phi^i\delta x^\mu)+d_\mu\left[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta\phi^i-\left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\phi^i_\nu-\mathcal L\delta^\mu_\nu\right)\delta x^\nu\right] \\ = E_i(L)(\delta\phi^i-\partial_\mu\phi^i\delta x^\mu)+d_\mu\left[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\left(\delta\phi^i-\partial_\nu\phi^i\delta x^\nu\right)+\mathcal L\delta x^\mu\right] \\ = E_i(L)\delta^\ast\phi^i+d_\mu\left[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i+\mathcal L\delta x^\mu\right],$ Wo

E_{i} (L)

$E_i(L)$ ist der Euler-Lagrange-Ausdruck der Lagrange-Funktion, und

δ^{*} ϕ^{ich} = δ ϕ^{ich} - \partial_{μ} ϕ^{ich} δ X^{μ}

$\delta^\ast\phi^i=\delta\phi^i-\partial_\mu\phi^i\delta x^\mu$ ist der vertikale Teil der Variation.

Der volle Noetherstrom ist dann

J^{μ} = \frac{\partial L}{\partial ϕ_{μ}^{ich}} δ^{*} ϕ^{ich} + L δ X^{μ} - F^{μ} .

$J^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i+\mathcal L\delta x^\mu-F^\mu .$

Betrachten Sie jetzt nur das Erstellen $\delta^\ast\phi^i$ als Variante ohne horizontalen Teil. Die Variation der Aktion ist

δ^{*} S = \int_{Ω} (E_{ich} (L) δ^{*} ϕ^{ich} + D_{μ} (\frac{\partial L}{\partial ϕ_{μ}^{ich}} δ^{*} ϕ^{ich})) D^{N} X .

$\delta^\ast S=\int_\Omega\left(E_i(L)\delta^\ast\phi^i+d_\mu\left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i\right)\right)d^nx.$ Vergleicht man dies mit dem Integral von

δ_{T} L

$\delta_T\mathcal L$ , wir finden

δ^{*} S = δ S - \int_{Ω} D_{μ} (L δ X^{μ}) D^{N} X .

$\delta^\ast S=\delta S-\int_\Omega d_\mu(\mathcal L\delta x^\mu)d^nx.$

Daraus folgt, wenn $\delta$ ist eine Quasisymmetrie von $S$ mit Verbesserungsfrist $F^\mu$ , Dann $\delta^\ast S$ ist auch eine Quasisymmetrie von $S$ mit Verbesserungsfrist $\bar F^\mu=F^\mu-\mathcal L\delta x^\mu$ . Aus dieser Symmetrie ergibt sich dann der volle Noetherstrom

J^{μ} = \frac{\partial L}{\partial ϕ_{μ}^{ich}} δ^{*} ϕ^{ich} - {\bar{F}}^{μ} = \frac{\partial L}{\partial ϕ_{μ}^{ich}} δ^{*} ϕ^{ich} + L δ X^{μ} - F^{μ},

$J^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i-\bar F^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\delta^\ast\phi^i+\mathcal L\delta x^\mu-F^\mu,$ was mit dem vorherigen Strom übereinstimmt.

Bemerkungen:

Klar, wenn der Verbesserungstermin verschwindet $\delta$ , dh $F^\mu=0$ , dann hat die entsprechende vertikale Variation noch einen Verbesserungsterm $-\mathcal L\delta x^\mu$ . Daher kann - wie in der Einleitung gesagt - eine nicht-vertikale exakte Symmetrie nur durch eine vertikale Quasisymmetrie ersetzt werden.

Zweitens sind die Variationen, die in Noethers Theorem auftreten, so, dass sie keine Variationen über ein bestimmtes Gebiet sind $\phi^i$ , sondern die Variation jedes Feldes kann berechnet werden. Mit anderen Worten, $\delta$ ist eher ein "Vektorfeld" als ein einzelner "Tangentenvektor" im Feldraum. Normalerweise haben diese Variationen die funktionale Form

δ X^{μ} = ξ^{μ} (X), δ ϕ^{ich} (X) = Ξ^{ich} (X, ϕ (X)) .

$\delta x^\mu=\xi^\mu(x),\quad\delta\phi^i(x)=\Xi^i(x,\phi(x)).$ Wenn die Variationen diese funktionale Abhängigkeit haben, dann erzeugen sie projizierbare Flüsse in der

n + m

$n+m$ -dimensionaler Gesamtraum sowohl abhängiger als auch unabhängiger Variablen

(x^{μ}, y^{i})

$(x^\mu,y^i)$ (Dieser Punkt würde in einer Faserbündelformulierung viel verständlicher gemacht, was ich aus Gründen der Zugänglichkeit nicht mache).

Für vertikale Variationen können wir jedoch auch Variationen der Form in Betracht ziehen

δ ϕ^{ich} (X) = Ξ^{ich} (X, ϕ (X), \partial ϕ (X), . . ., \partial^{R} ϕ (X)),

$\delta\phi^i(x)=\Xi^i(x,\phi(x),\partial\phi(x),...,\partial^r\phi(x)),$ und das nennt man eine verallgemeinerte Variation (und wenn eine Symmetrie, dann eine verallgemeinerte Symmetrie) (weitere Bemerkung: Man könnte im Prinzip jedes Funktional betrachten

δ ϕ^{i} (x) = Ξ^{i} [ϕ] (x)

$\delta\phi^i(x)=\Xi^i[\phi](x)$ , jedoch betrachtet man im Sinne der Lokalität meist nur Funktionale endlicher Ordnung).

Verallgemeinerte vertikale Schwankungen erzeugen keine Strömungen in der $(x,y)$ -Raum, aber sie erzeugen über die Gleichung Strömungen im Feldraum

\frac{\partial ϕ_{ϵ}^{ich}}{\partial ϵ} = Ξ^{ich} (X, ϕ_{ϵ} (X), . . ., \partial^{R} ϕ_{ϵ} (X)) .

$\frac{\partial\phi^i_\epsilon}{\partial\epsilon}=\Xi^i(x,\phi_\epsilon(x),...,\partial^r\phi_\epsilon(x)).$

In diesem Sinne, wenn $\delta$ ist eine gewöhnliche, nicht vertikale Variation mit

δ X^{μ} = ξ^{μ} (X), δ ϕ^{ich} (X) = Ξ^{ich} (X, ϕ (X)),

$\delta x^\mu=\xi^\mu(x),\quad \delta\phi^i(x)=\Xi^i(x,\phi(x)),$ dann hat die entsprechende vertikale Variation die Form

δ^{*} ϕ^{ich} (X) = Z^{ich} (X, ϕ (X), \partial ϕ (X)) = Ξ^{ich} (X, ϕ (X)) - \partial_{μ} ϕ^{ich} (X) ξ^{μ} (X),

$\delta^\ast\phi^i(x)=\mathrm Z^i(x,\phi(x),\partial\phi(x))=\Xi^i(x,\phi(x))-\partial_\mu\phi^i(x)\xi^\mu(x),$ was das zeigt

δ^{*}

$\delta^\ast$ ist eigentlich verallgemeinert vertikale Symmetrie.

Daher darf – wie in der Einleitung ausgeführt – eine nicht-vertikale gewöhnliche Variante nur durch eine vertikale generalisierte Variante im Allgemeinen ersetzt werden.

Knzhou · Answer 3

Das Problem ist, dass es zwei Möglichkeiten gibt, eine infinitesimale Feldtransformation zu schreiben. Betrachten wir als einfaches Beispiel ein Triplett von Feldern $\phi_i$ die sich als Vektor im Raum transformieren, und nehmen wir an, wir haben es mit einer Rotationssymmetrie zu tun. Wir können diese Symmetrie auf zwei Arten schreiben:

Ihre Methode: Die Drehung verändert die Raumkoordinaten (Ihre $\delta x^\mu$ ) und ändert den Wert des Feldes durch Rotation (Ihre $\delta \phi^i$ ).
Die gebräuchlichere Methode: Die Drehung ändert nur den Wert des Feldes, während die räumlichen Koordinaten konstant gehalten werden, dh $\delta x^\mu = 0$ .

Während es so aussieht, als wäre Ihre Methode allgemeiner, funktioniert die zweite Methode genauso gut wie jede Verschiebung der Koordinaten um eine kleine $\delta x^\mu$ entspricht einer Verschiebung des Feldwertes um $\partial_\mu \phi^i \delta x^\mu$ .

Einstellung $\delta x^\mu = 0$ in Peskin und Schroeders Antwort gibt Ihre, also stimmen sie Ihnen zu, außer dass ihre $\delta \phi$ wird komplizierter. Das Schweber-Buch ist etwas grundlegender und hat wahrscheinlich die Gesamtableitung weggelassen, nur um die Dinge zu vereinfachen.

Sie behaupten, dass bei der gebräuchlicheren Methode $\delta x^\mu = 0$ , und das auch beibehalten $\delta\phi^i \propto \partial_\mu \phi^i \delta x^\mu$ . Würde das nicht heißen $\delta\phi^i = 0$ überall? Wie erklären Sie sich das?
@Meghana Entschuldigung, ich habe eine schlechte Notation verwendet. In der ersten Gleichung meine ich, dass es keine räumliche Transformation gibt, also die $\delta x^\mu$ Begriffe in Ihrer Version des Noetherstroms tauchen nicht auf. In der zweiten Gleichung meine ich, dass eine zusätzliche Änderung hinzugefügt werden sollte $\delta \phi$ kompensieren. In diesem Kontext, $\delta x^\mu$ ist einfach ein Vierervektor und hat darüber hinaus keine Bedeutung. Es ist gleich, was auch immer die räumliche Transformation gewesen wäre.

Photon · Answer 4

Ein Noetherstrom ist immer mit irgendeiner Transformation verbunden. Wenn Sie den zweiten und dritten Term in das zweite Feld fallen lassen, haben Sie den Strom für eine reine Feldtransformation ohne Koordinatentransformation. Beachten Sie, dass die Feldtransformation aus zwei Teilen besteht: Einer stammt von einer gegebenen Feldverschiebung, der andere wird von einer Koordinatentransformation induziert. Würde man zum Beispiel die reine Feldverschiebung auf Null setzen und nur den durch die Koordinatenverschiebung induzierten Anteil behalten, würde man den Energie-Impuls-Tensor der Theorie erhalten.

Korrektur: Den Energie-Impuls-Tensor erhält man nur dann als Noetherstrom, wenn man die Koordinatentransformation auf Raum-Zeit-Translationen setzt.

Was ist die tatsächliche Form des Noetherstroms in der Feldtheorie?

Foshiba

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