Zusatzbegriff im Noetherstrom

Betrachten Sie die Gesamtableitung der Langrange-Dichte in Bezug auf die Position,

$$\frac{dL}{dx}=\frac{\partial\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \Phi} +\frac{\partial d\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial d\Phi}+\frac{\partial L}{\partial x}$$

Mit

$$\delta\Phi = \delta a \frac{\partial\Phi}{\partial x}, d\delta\Phi = d(\delta a \frac{\partial\Phi}{\partial x})=\delta a \frac{\partial d\Phi}{\partial x}$$ Wir finden die Variation der Langrange-Dichte in Bezug auf unser Feld: $$\delta_{\Phi}L=\delta\Phi \frac{\partial L}{\partial \Phi} + d\delta\Phi\frac{\partial L}{\partial d\Phi}=\delta a (\frac{\partial\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \Phi} +\frac{\partial d\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial d\Phi})$$

Man sieht, dass wenn$\frac{\partial L}{\partial x}=0$, was bedeutet, wenn wir keine explizite Koordinatenabhängigkeit haben, gilt Folgendes:

$$\delta_a L = \delta_\Phi L$$ Und diese sogenannte Invarianzbedingung gibt Ihnen den Term, den Sie fragen. Invarianz bezüglich Feld: $$\delta_\Phi L=\partial_\mu(\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \Phi_k)})(\delta\Phi_k)$$ Positionsinvarianz: $$\delta_a L= \partial_\mu L\delta x^{\mu}$$ Umstellen ergibt die gewünschte Lösung. Wie Sie sehen können, lässt die Invarianzbedingung den letzten Term nicht fehlen, dieser Term ist notwendig. Sie können dies wie folgt sehen. Wenn Sie Ihre Langrange-Dichte ändern, gibt es zwei Effekte: Erstens ändert sich das Feld; Zweitens ändert sich die Basis. Der letzte Term gibt Ihnen den Effekt des "Basiswechsels" an einem bestimmten Punkt an.

Eine zweite Möglichkeit, eine Koordinatenabhängigkeit zu "erwarten", kann aus der Interpretation der Invarianzbedingung erklärt werden. Invarianz bedeutet, dass sich die Bewegungsgleichungen in einem System unter einer Translation nicht ändern. Dann müssen wir die Transformationen der folgenden Art betrachten:

$$\mathcal{L}\rightarrow \mathcal{L}+\partial_{\mu}J^{\mu}$$ Bei der Wirkungsvariation kann man den zweiten Term mit dem Satz von Stokes zu einem Oberflächenintegral vereinfachen, und die Oberflächenterme werden in der Variationsberechnung als Null betrachtet. Daher können wir den Begriff sehen$J^{\mu}$ist ebenfalls konserviert, und der Noetherstrom muss auch von diesem Term abhängig sein. Dieser Term kann wie die obige Ableitung berechnet werden.