Satz von Noether für Hamiltonoperatoren und Lagrangeoperatoren

Question

Satz von Noether für Hamiltonoperatoren und Lagrangeoperatoren

Stephen Montgomery-Smith

Wenn ich mich umschaue, sehe ich eine Version von Noethers Theorem, die konservierte Größen aus Symmetrien erzeugt, die die Lagrangian erhalten (zB http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html ), und einen anderen Satz, der auch Noethers Theorem genannt wird und konserviert findet Größen, indem Sie sehen, ob sie Poisson mit dem Hamiltonoperator pendeln (z. B. Seite 29 von http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/chapter.pdf ).

Sind diese beiden Ergebnisse tatsächlich die gleichen Ergebnisse getarnt?

Zum Beispiel leitet Terry Tao in http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/chapter.pdf auf Seite 83 die Gesamtgebühr ab $\int |u|^2 \, dx$ Als Invariante der freien Schrödinger-Gleichung sagt er, dies sei eine Folge der Karte $u \mapsto e^{i\phi} u$ . Ich habe versucht, die Schrödinger-Gleichung in Lagrange-Form zu schreiben, indem ich entschied, dass der Realteil von $u$ wäre "Position", und der imaginäre Teil von $u$ wäre "Schwung". aber dann die Karte $u \mapsto e^{i\phi} u$ endete als eine Karte, die Position nicht auf eine neue Position abbildete, sondern Position und Geschwindigkeit auf ziemlich unangenehme Weise mischte. Gäbe es eine andere kluge Wahl, um zu entscheiden, welche Variablen "Position" und "Impuls" sind, die bewirken würden, dass die Gesamtladung als die durch http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html gegebene Erhaltungsgröße entsteht ?

Stephen Montgomery-Smith

Auch hier gefragt: math.stackexchange.com/q/1466389

udrv

"Sind diese beiden Ergebnisse tatsächlich die gleichen Ergebnisse getarnt?" Ja, sie sind. Siehe Antwort auf diese verwandte Frage: physical.stackexchange.com/q/69271

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Satz von Noether für Hamiltonoperatoren und Lagrangeoperatoren

"Sind diese beiden Ergebnisse tatsächlich die gleichen Ergebnisse getarnt?" Ja, sie sind. Siehe Antwort auf diese verwandte Frage: physical.stackexchange.com/q/69271

QMechaniker · Answer 1

I) Als Purist missbillige ich die gängige Praxis, die Implikation zu nennen

\begin{matrix} (1) & {Q, H} + \frac{\partial Q}{\partial T} = 0 \Rightarrow \frac{D Q}{D T} \approx 0. \end{matrix}

$\tag{1} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$ für eine „Hamiltonsche Version des Satzes von Noether“ vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .

Darüber hinaus ist die Implikation (1) aus verschiedenen Gründen nicht äquivalent zum Satz von Noether . Erstens kann die Frage einer möglichen singulären Legendre-Transformation einen Vergleich von Lagrange- und Hamilton-Formulierungen erschweren. Zweitens funktioniert der Satz von Noether auch für sogenannte horizontale Variationen der Form $\delta t=\ldots$ nicht in (1) berücksichtigt.

Vielmehr ist die Implikation (1) nur eine triviale Konsequenz der Hamiltonschen Gleichungen. Siehe auch zB nLab .

II) In Bezug auf OPs Beispiel des freien Schrödinger-Felds wird die Hamilton-Formulierung zB in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert. OPs Vorschlag, in Real- und Imaginärteile aufzuteilen

\begin{matrix} (1) & ϕ = (ϕ^{1} + ich ϕ^{2}) / \sqrt{2} \end{matrix}

$\tag{1} \phi~=~(\phi^1+i\phi^2)/\sqrt{2}$ ist streng genommen nicht notwendig, vgl. zB dieser Phys.SE-Post, aber die Logik ist etwas einfacher, wenn man teilt. Die fundamentale Poisson-Klammer ungleich Null lautet

\begin{matrix} (2) & {ϕ^{1} (X, T), ϕ^{2} (j, T)} = δ^{3} (X - j) . \end{matrix}

$\tag{2} \{\phi^1({\bf x},t),\phi^2({\bf y},t)\}~=~\delta^3 ({\bf x}-{\bf y}).$

Das infinitesimale globale (= ${\bf x}$ -unabhängig) Phasensymmetrie

\begin{matrix} (3) & δ ϕ = - ich ϵ ϕ, \end{matrix}

$\tag{3} \delta \phi~=~-i\epsilon \phi,$

Wo $\epsilon$ ist ein infinitesimaler Parameter, liest Komponenten ein

\begin{matrix} (4) & δ ϕ^{1} = ϵ ϕ^{2} Und δ ϕ^{2} = - ϵ ϕ^{1} . \end{matrix}

$\tag{4} \delta \phi^1~=~\epsilon \phi^2\qquad\text{and}\qquad \delta \phi^2~=~-\epsilon \phi^1.$

Die Null-Komponente des Noether-4-Stroms ist dann

\begin{matrix} (5) & J^{0} := ϕ^{2} \frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{1}} - ϕ^{1} \frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{2}} = | ϕ |^{2} . \end{matrix}

$\tag{5} j^0~:=~\phi^2\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^1} -\phi^1\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^2}~=~|\phi|^2.$

Daher ist die Noether-Ladung

\begin{matrix} (6) & Q (T) := \int D^{3} X J^{0} (X, T) = \int D^{3} X | ϕ (X, T) |^{2} . \end{matrix}

$\tag{6} Q(t)~:=~ \int d^3x~ j^0({\bf x},t)~=~ \int d^3x|\phi({\bf x},t)|^2.$

Es ist leicht zu sehen, dass diese Noether-Ladung (6) die unendlich kleine globale Phasensymmetrie (4) erzeugt

\begin{matrix} (7) & δ ϕ^{1} = ϵ {ϕ^{1}, Q} Und δ ϕ^{2} = ϵ {ϕ^{2}, Q}; \end{matrix}

$\tag{7} \delta \phi^1~=~\epsilon \{\phi^1,Q\} \qquad\text{and}\qquad \delta \phi^2~=~\epsilon\{\phi^2,Q\} ;$

dass es Poisson mit der Hamiltonschen Dichte pendelt

\begin{matrix} (8) & H := \frac{1}{2 M} | \nabla ϕ |^{2} = \frac{1}{4 M} (\nabla ϕ^{1})^{2} + \frac{1}{4 M} (\nabla ϕ^{2})^{2}; \end{matrix}

$\tag{8} {\cal H}~:=~\frac{1}{2m}|\nabla\phi|^2 ~=~\frac{1}{4m}(\nabla\phi^1)^2 +\frac{1}{4m}(\nabla\phi^2)^2;$

und dass es auf der Schale konserviert wird.

Neben Terry Tao gibt es in Woche 9 dieser Vorlesung John Baez und Derek Wise , die sich auf Gl. (1) als hamiltonsche Version des Satzes von Noether.

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QMechaniker

QMechaniker

Folgt die Erhaltung des Wronskian aus dem Noether-Prinzip?

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