Noether-Gebühr für Lagrange mit Ableitungen höherer Ordnung

Ich versuche, die Noether-Ladung für die Symmetrie zu finden

$x\rightarrow x+f\left(x\right)$

Diese Transformation sollte die Aktion invariant lassen, also

$$\begin{align*} dS&=S\left(x+f\left(x\right),\dots\right)-S\left(x\right)=0\\ &=\int dt\ \mathcal{L}\left(x+f\left(x\right),\dot{x}+\dot{f},\dots,t\right)-\mathcal{L}\left(x,\dot{x},\dots,t\right) \end{align*}$$

Verwenden$f\left(x+\epsilon\right)-f\left(x\right)\approx \epsilon \frac{df}{dx}$

$$\begin{align*} dS=\int dt\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}f+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\dot{f}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \ddot{x}}\ddot{f}+\dots \end{align*}$$ Den zweiten Term als totale Ableitung schreiben $$\begin{align*} dS&=\int dt\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}f+\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} f\right]-f\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}}\right)+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \ddot{x}}\ddot{f}+\dots\\ &=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{x}}f\bigg|_0^T+\int dt\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}f-f\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}}\right)+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \ddot{x}}\ddot{f}+\dots \end{align*}$$ Für die Terme höherer Ordnung können wir dasselbe tun $$\begin{align*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \ddot{x}}\ddot{f}&=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \ddot{x}}\dot{f}\right)-\dot{f}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \ddot{x}}\right)\\ &=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \ddot{x}}\dot{f}\right)-\boxed{\frac{d}{dt}\left(f\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\ddot{x}}\right)\right)}+f\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{d\ddot{x}}\right) \end{align*}$$ Jetzt wird also das Integral $$\begin{align*} dS=\sum_{n=0}^N\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\left(n+1\right)}}f^{(n)}\bigg|_0^T+\int dt\ f\left[\sum_{n=0}^N\left(-1\right)^n\frac{d^n}{dt^n}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{(n)}}\right)\right]-\boxed{\frac{d}{dt}\left(f\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\ddot{x}}\right)\right)+\dots}=0\end{align*}$$

Wobei die Summe unter dem Integral die Euler-Lagrange-Gleichungen für die ungestörte Aktion darstellt. Ich erwarte irgendwie, dass die umrandeten Begriffe ebenfalls verschwinden und nur der erste Begriff übrig bleibt. Habe ich es richtig gemacht, welche Schritte übersehe ich?