Welche Rolle spielen die klassischen Bewegungsgleichungen bei der Ableitung des Noetherstroms?

Ich versuche, eine sehr grundlegende Aussage aus dem Buch Condensed Matter Field Theory von A.Altland und B.Simons zu verstehen:

Angenommen, wir haben eine Transformation:

$$x^\mu \to (x^{\prime})^{\mu} = x^\mu + f^\mu_a \omega^a(x)$$ Und $$\phi^i(x)\to (\phi^{\prime})^i =\phi^i(x) + F^i_a \omega^a(x)$$

dann können wir die Aktionsdifferenz berechnen

$$\Delta S = \int_V d^m x^\prime \mathcal{L}(\phi^\prime(x^\prime),\partial_{x^\prime} \phi^\prime(x^\prime))-\int_V d^m x \mathcal{L}(\phi (x),\partial_x \phi (x))$$

wo wir alles ausdrücken können$x$unter Verwendung der Transformationsformeln und der Jacobi-Determinante. So weit, ist es gut. Jetzt kommt die erste Aussage:

(1) „Bisher haben wir nicht genutzt, dass die Transformation eigentlich eine Symmetrietransformation sein sollte. Per Definition haben wir es mit einer Symmetrie zu tun, wenn es sich um einen konstanten Parameter handelt$\omega^a$(z. B. eine gleichförmige Drehung oder globale Verschiebung usw.) verschwindet die Wirkungsdifferenz."

Ja das verstehe ich.

(2) „Mit anderen Worten, der führende Beitrag zur Aktionsdifferenz muss in den Ableitungen linear sein$\partial_{x^\mu} \omega^a$"

Gemäß dieser Antwort auf die Phys.SE-Frage Auf einen Trick, um den Noetherstrom abzuleiten, haben wir gerade künstlich a hinzugefügt$x$Abhängigkeit im Variationsparameter. Nehmen wir dann an, wir hätten dann eine Symmetrie

$$\Delta S \overset{!}{=} 0 = \int_V [...]_1 \omega^a + j^\mu_a \partial_\mu \omega ^a \overset{\omega^a \text{is constant}}{=} \omega^a \int_V [...]_1=0 \to [...]_1=\partial_\mu k^\mu_a$$

Dieser Ausdruck für$[...]_1$wir können in der Formel für ersetzen$[...]_1$und durch Teile einmal zu integrieren, um zu bekommen$\Delta S = \int_V J^\mu_a \partial_\mu \omega^a$wobei wir davon ausgehen, dass die Variation an der Grenze$\partial V$verschwindet und$J^\mu_a=j^\mu_a-k^\mu_a$. Nach Erweiterung der Wirkungsdifferenz in der Ableitung von$\omega$wir identifizieren den Noetherstrom.

Jetzt kommt der heikle Teil:

(3) „Für eine allgemeine Feldkonfiguration gibt es nicht viel über den Noetherstrom zu sagen. Wenn jedoch das Feld$\phi$gehorcht den klassischen Bewegungsgleichungen und die Theorie ist symmetrisch, der Noetherstrom ist lokal konserviert,$\partial_\mu J^\mu_a=0$. Dies folgt aus der Tatsache, für eine Lösung$\phi$der Euler-Lagrange-Gleichung muss die lineare Variation in jedem Parameter verschwinden.

Ist es richtig, dass sie nur meinen, dass wir durch die Integration von Teilen zu dem kommen?$\Delta S = -\int_V d^m x \partial_\mu J^\mu_a \omega_a$. Das nutzen wir dann$\phi$ist klassisch erhalten, was bedeutet, dass jede lineare Variation verschwindet?

Dh$\partial_\mu J\mu_a =0$das ist die Kontinuitätsgleichung.

Der einzige Unterschied zwischen der Symmetriebedingung und der Bedingung that$\phi$gehorcht der Bewegungsgleichung ist das

• Symmetrietransformation$\to \Delta S \sim 0$Modulo-Grenzterme

• $\phi$Bewegungsgleichung gehorcht$\to \Delta S = 0$da alle linearen Variationen verschwinden

Ist das korrekt?