On-Shell- und Off-Shell-Transformationen im Noether-Theorem

Question

On-Shell- und Off-Shell-Transformationen im Noether-Theorem

ersbygre1

Für jede Transformation der Felder gilt:

φ \to φ^{'} = φ + δ φ

$\varphi\to\varphi'=\varphi+\delta\varphi$ die Änderung im Lagrange kann geschrieben werden als

\begin{matrix} (1) & δ L = EoM + \partial_{μ} J^{μ} \end{matrix}

$\delta\mathcal L = \text{EoM} + \partial_\mu j^\mu\tag{1}$ wobei "EoM" die Bewegungsgleichungen (Euler-Lagrange-Gleichungen) darstellt und alle anderen Terme als Gesamtableitung einer Funktion geschrieben werden können

j^{μ}

$j^\mu$ , was eine bekannte Funktion in Bezug auf die Lagrange-Funktion ist.

Ich möchte die verschiedenen Realisierungen von Transformationen unterscheiden. Nehmen wir an, dass die Transformation (1) die Aktion invariant lässt, $\delta S=0$ .

$\delta\mathcal L=0$
- EoM $=0$ , "on-shell": Noetherstrom bleibt erhalten, $\partial_\mu j^\mu=0$ .
- EoM $=\partial_\mu b^\mu\neq0$ , "off-shell": modifizierter Noether-Strom $J^\mu = j^\mu+b^\mu$ wird konserviert, $\partial_\mu J^\mu=0$ .
$\delta\mathcal L =\partial_\mu a^\mu \neq 0$ , "Quasi-Symmetrie"
- EoM $=0$ , "on-shell": modifizierter Noetherstrom $J^\mu = j^\mu-a^\mu$ wird konserviert, $\partial_\mu J^\mu=0$ .
- EoM $=\partial_\mu b^\mu\neq0$ , "off-shell": modifizierter Noether-Strom $J^\mu = j^\mu-a^\mu+b^\mu$ wird konserviert, $\partial_\mu J^\mu=0$ .

Ist diese Auflistung korrekt?

Welche Rolle spielen die Begriffe „On/Off-Shell“ und „(Quasi-)Symmetrie“ in Noethers Theorem?

Verwandte: eins , zwei , drei , vier , fünf .

Jess Riedel

Siehe auch diese Antwort zur Orientierung.

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On-Shell- und Off-Shell-Transformationen im Noether-Theorem

QMechaniker · Answer 1

Die Annahme in Noethers (erstem) Theorem ist eine Off-Shell $^1$ Quasisymmetrie der Wirkung $S$ . Es führt zu einer Off-Shell-Noether-Identität Off-Shell-Noether-Identität
$\begin{matrix} (A) & D_{μ} J^{μ} \equiv - \frac{δ S}{δ ϕ^{a}} Y_{0}^{a} . \end{matrix}$ $d_{\mu} J^{\mu} ~\equiv~ - \frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}} \tag{A}Y_0^{\alpha}.$ Hier $J^{\mu}$ ist der volle Noetherstrom, der notwendigerweise nicht trivial ist; Und $Y_0^{\alpha}$ ist ein (vertikaler) Symmetriegenerator. Die Off-Shell-Identität (A) impliziert wiederum eine On-Shell-Kontinuumsgleichung/ein Erhaltungsgesetz.
Eine On-Shell-Quasisymmetrie der Aktion $S$ ist eine Tautologie. Es hat keine zugehörige Kontinuumsgleichung/Erhaltungssatz. Sogar eine strenge Symmetrie der Aktion $S$ (oder die Lagrange-Dichte ${\cal L}$ ) on-shell hat keine zugehörige Kontinuumsgleichung/Erhaltungssatz. $^2$
OP betrachtet nur sogenannte vertikale Transformationen $\delta\phi$ , dh $\delta x^{\mu}=0$ , der gewisse Vereinfachungen in Form des Noetherstroms trägt.

--

$^1$ Die Wörter On-Shell und Off-Shell beziehen sich darauf, ob die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen (=EOM) erfüllt sind oder nicht.

$^2$ Hier ist ein weiteres heuristisches Argument: Abgesehen von verschiedenen technischen Annahmen und Details besteht moralisch gesehen eine bijektive Entsprechung zwischen Off-Shell-Quasisymmetrien und On-Shell-Erhaltungssätzen, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Insbesondere sind alle On-Shell-Erhaltungssätze bereits allein durch Off-Shell-Quasisymmetrien erklärt. Mit anderen Worten, es gibt keinen Raum für On-Shell-Quasisymmetrien, um in dieser Korrespondenz eine unabhängige Rolle zu spielen.

Wenn das Erhaltungsgesetz On-Shell betrachtet wird, warum dann mit einer Off-Shell-Transformation beginnen? -- Wenn es sich um eine allgemeine Transformation handelt, $\delta\mathcal L=\text{EoM}+\partial_\mu j^\mu$ und jetzt für eine bestimmte vertikale Transformation, $\delta\mathcal L=\partial_\mu\Lambda^\mu$ , subtrahieren wir beide, um zu erhalten $\text{EoM}+\partial_\mu(j^\mu-\Lambda^\mu)=0$ . Wenn wir on-shell annehmen, wird dies $\partial_\mu(j^\mu-\Lambda^\mu)=0$ und wir haben unser Erhaltungsgesetz.
Ich verstehe das für eine Quasi-Symmetrie "on-shell", $\Lambda$ in meinem vorherigen Kommentar werden sollte $j$ , daher ist der Erhaltungssatz eine triviale Gleichung. Die Anwendung dieser Logik führt jedoch zu dem Schluss, dass auch danach in meinem letzten Schritt, $\Lambda\to j$ und die Gleichung wird trivial. Was vermisse ich?
Vielen Dank für Ihre Aktualisierung. Ich denke, dass dies zusammen mit einer anderen Antwort ( physical.stackexchange.com/a/438369/127780 ) und diesem Papier ( arXiv:1510.07038 ) meine Verwirrung gelöst hat.

On-Shell- und Off-Shell-Transformationen im Noether-Theorem

ersbygre1

Jess Riedel

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Noether-Gebühr für Lagrange mit Ableitungen höherer Ordnung

Wie man den Satz von Noether anwendet

Transformation hat δL=0δL=0\delta \mathcal{L}=0 aber δS≠0δS≠0\delta S \neq 0 und δS≠ϵ∫∂Ωd3xfδS≠ϵ∫∂Ωd3xf\delta S \neq \epsilon \int_{ \partial\Omega} d^3 xf

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