Warum werden Symmetrien im Phasenraum durch Funktionen erzeugt, die die Hamilton-Invariante verlassen?

Ich habe kürzlich viel Zeit damit verbracht, über dieses Zeug nachzudenken und ein kleines Dokument geschrieben, das ich hier auf meine Website gestellt habe (unter dem Titel "Visualizing the Inverse Noether Theorem and Symplectic Geometry"). Daher werde ich zunächst auf Ihre spezifische Frage eingehen, wie die Symmetrien des Hamilton-Operators und des Lagrange-Operators zusammenhängen. Ich möchte jedoch auch die tiefere Teilfrage ansprechen: Was ist eine "Symmetrie" genau und wie sollten wir darüber denken? Dieser Teil meiner Antwort wird ein bisschen wie ein Manifest sein.

Hauptfrage: Invarianz der Lagrange-Funktion

Jede Transformation, die den Lagrange durch eine totale Ableitung ändert, wird als "Symmetrie" (manchmal als "Quasi-Symmetrie") bezeichnet. Der Satz von Noether kann verwendet werden, um eine Erhaltungsgröße unter Verwendung dieser Symmetrie zu extrahieren. Im Hamiltonschen Rahmen stellt man dann fest, dass diese Erhaltungsgröße die ursprüngliche Symmetrie „erzeugt“.

Warum dies funktioniert, ist leichter im "Hamiltonian Lagrangian"-Formalismus zu verstehen, wo der Lagrangian$L_H$ist eine Funktion von Impuls und Ort.

$$L_H(p_i, q_i, \dot q_i) = p_i \dot q_i - H(q_i, p_i)$$ (Hier,$i = 1\ldots n$und Summierung wird impliziert, wenn Indizes wiederholt werden.)

Stellen Sie sich nun vor, wir haben eine Erhaltungsgröße$Q$;

$$\{ Q, H \} = 0.$$ Dies "erzeugt" die infinitesimale Transformation $$\delta q_i = \varepsilon \frac{\partial Q}{\partial p_i} \hspace{1 cm} \delta p_i = -\varepsilon \frac{\partial Q}{\partial q_i}$$ Nun, wenn wir uns das vorstellen$\varepsilon$ist eine winzige zeitabhängige Funktion, dh$\varepsilon = \varepsilon(t)$, können wir es verwenden, um die Aktion eines Pfads zu variieren. Vorausgesetzt die Randbedingungen$\varepsilon(t_1) = \varepsilon(t_2) = 0$, über Lösungen der Bewegungsgleichungen, die wir haben

$$\begin{align*} 0 &= \delta S \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \delta L_H dt \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \Big( -\varepsilon \frac{\partial Q}{\partial q_i} \dot q_i + p_i \frac{d}{dt} \big( \varepsilon \frac{\partial Q}{\partial p_i} \big) - \varepsilon\{H, Q\} \Big) dt \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \Big( -\varepsilon \frac{\partial Q}{\partial q_i} \dot q_i - \dot p_i \varepsilon \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) dt \\ &= -\int_{t_1}^{t_2} \varepsilon \dot Q dt \end{align*}$$ Wir können daher sehen, dass bei Lösungen der Bewegungsgleichungen$\dot Q = 0$. Das ist nur der Satz von Noether.

Wir fragen uns jetzt vielleicht, wie sich diese Symmetrietransformation auswirkt$L_H$Wenn$\varepsilon$ist eine Konstante. Wir sehen, dass es sich wie erwartet genau um eine totale Ableitung ändert:

$$\begin{align*} \delta L_H &= - \frac{\partial Q}{\partial q_i} \dot q_i - p_i \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) + \{ H, Q\} \\ &= - \frac{\partial Q}{\partial p_i} \dot q_i - \dot p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} + \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) \\ &= \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q\Big) \end{align*}$$

Das können wir also sehen$L_H$zwangsläufig durch eine totale Ableitung ändert. Lassen Sie mich nun auf eine interessante Nebenbemerkung hinweisen. Wenn die Menge$p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q = 0$, die totale Ableitung ist$0$. Dies geschieht, wenn die Erhaltungsgröße von der Form ist

$$Q = p_i f_i(q).$$ Beachten Sie, dass im obigen Fall $$\delta q_i = f_i(q)$$ Das heißt, Symmetrietransformationen, die die nicht "verwechseln".$p$ist mit dem$q$haben keinen totalen Ableitungsterm in$\delta L$.

Manifest: Was ist eigentlich eine "Symmetrie"?

Sie haben in Ihrer Fragestellung etwas sehr Interessantes gesagt, das ich von vielen Physikern gehört habe.

Daher können wir die Rolle der beiden Funktionen in der obigen Poisson-Klammer umkehren$\{F,H\}=0↔\{H,F\}=0.$In Worten sagt uns diese zweite Gleichung, dass für jede Erhaltungsgröße F ihre Wirkung auf den Hamiltonoperator H Null ist. Mit anderen Worten, F erzeugt als Symmetrie. Das ist genau der Satz von Noether.

Nun, das Wort "Symmetrie" ist ziemlich schlüpfrig. Früher in dieser Antwort habe ich gesagt, dass eine Symmetrie etwas ist, das den Lagrange durch eine Gesamtableitung ändert. Das ist jedoch eine ziemlich stumpfe Definition für Symmetrie. In Ihrer Frage beziehen Sie sich auf eine Symmetrie als eine Transformation, die bleibt$H$Konstante. Diese Definition ist auch etwas stumpf.

Meiner Meinung nach ist eine "Symmetrie" in der klassischen Mechanik eine Operation, die mit der Zeitentwicklung pendelt. Wenn Ihr System also beispielsweise eine „Rotationssymmetrie“ hat, führt die Drehung Ihres Systems und die zeitliche Weiterentwicklung zu demselben Endzustand wie die zeitliche Entwicklung und dann die Drehung.

Beachten Sie, dass nicht jede "Symmetrie" im modernen Sprachgebrauch auf diese Beschreibung passt. Denken Sie zum Beispiel an die Skalierungssymmetrie eines freien Teilchens. Ein freies Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer geraden Linie:$\vec x = \vec v t + \vec a$. Wenn wir die Koordinate des Teilchens mit einer Konstanten multiplizieren$b$, Dann$\vec x = b (\vec v t + \vec a).$Dies ist ein weiterer gültiger Weg, den das Partikel nehmen kann, daher ist die Skalierung eine Symmetrie der Bewegungsgleichungen. Das ist zwar richtig, aber Skalierung ist KEINE "Symmetrie" angesichts meiner bevorzugten Definition. Diese naive Skalierungssymmetrie ändert jedoch die Lagrange-Funktion nicht durch eine Gesamtableitung, sodass sie keine zugehörige Erhaltungsgröße hat. (Ich versuche Sie davon zu überzeugen, dass meine bevorzugte Definition die nützlichere ist.)

Was ist mit Lorentz-Boosts? Diese passen auch zu meiner Definition, aber es gibt eine winzige Komplikation. Wenn Sie einen Lorentz-Boost durchführen, müssen Sie Ihre Definition von Zeit ändern. Wenn Sie also einen Boost durchführen und sich dann mit der Zeit weiterentwickeln, sollten Sie am Ende denselben Endzustand haben, als ob Sie sich mit der Zeit weiterentwickelt und dann einen Boost durchgeführt hätten, solange Sie die Tatsache korrekt berücksichtigen, dass sich die Definition von „Zeit“ nach einem Boost ändert. Der Fall der speziellen Relativitätstheorie ist also etwas subtil.

das denke ich nicht

$$\{ Q, H \} = 0 = \{H, Q\}$$ ist der richtige Weg, um den Satz von Noether in der Hamiltonschen Mechanik zu verstehen. Meiner Meinung nach ist der Avatar das "inverse Noether-Theorem" $$X_H(Q) = 0 \implies [X_H, X_Q] = 0.$$ Im obigen Ausdruck$X_H$ist das Hamiltonsche Vektorfeld "erzeugt von$H$" Und$[\cdot, \cdot]$ist das Vektorfeld "Lügenklammer", definiert durch $$[X_H, X_Q] = X_H X_Q - X_Q X_H.$$ Beachten Sie, dass ich auch die Notation verwende, bei der Vektorfelder auf Funktionen als Differentialoperator wirken, also zum Beispiel $$X_H (Q) = \{Q, H\}.$$

$X_H(Q)$sollte als Änderung betrachtet werden$Q$das kommt vom "mitfließen"$X_H$, dh

$$\dot Q = X_H(Q).$$ Der "Beweis" des Satzes von Noether in der Hamiltonschen Mechanik ist nur die Jacobi-Identität. $$\{ \{g, h\}, f\} + \{ \{h, f\}, g\} + \{ \{f, g\}, h\} = 0$$ Etwas umordnen, auch unter Verwendung der Antisymmetrie der Poisson-Klammer $$\{f, \{h, g\}\} = \{ g, \{h, f\}\} - \{ h, \{g, f\}\}$$ Wir können die Definition unserer Hamiltonschen Vektorfelder verwenden, die auf eine Testfunktion wirken$f$schreiben $$X_{\{h, g\}} (f) = [X_g, X_h](f)$$ und schlussendlich $$X_{\{h, g\}} = [X_g, X_h].$$ Dies zeigt, dass wenn$Q$ist konserviert, dh$\dot Q = X_H(Q) = \{Q, H\} = 0$, dann haben wir eine Symmetrie$[X_H, X_Q] = X_{\{Q, H \}} = X_0 = 0$.

Beachten Sie, dass gezeigt werden kann, dass die Lie-Klammer das "Versagen" von Flüssen angibt, infinitesimal zu pendeln.

Vielleicht habe ich die Notation zu schnell eingeführt, daher sollte ich erwähnen, dass ich dies in meinen oben verlinkten Notizen in einem vernünftigeren Tempo bespreche.

Wie auch immer, sobald Sie anfangen, in Begriffen von Pendelströmen zu denken, erkennen Sie, dass "Symmetrien" in der klassischen Mechanik direkt analog zu "Symmetrien" in der Quantenmechanik sind.

In der Quantenmechanik erfassen wir die obige Aussage mathematisch (Unterdrückung$\hbar$) als

$$[e^{-i t \hat H}, e^{- i \theta \hat J}] = 0.$$ Die obige Gleichung kann eigentlich als vier eng verwandte Gleichungen verstanden werden.

1. $[e^{-i t \hat H}, e^{- i \theta \hat J}] = 0$: Einen Zustand zu rotieren und dann zeitlich zu entwickeln, ist dasselbe wie sich zeitlich zu entwickeln und dann zu rotieren. (Wir haben eine Symmetrie.)

2. $[e^{-i t \hat H},\hat J] = 0$: Der Drehimpuls eines Zustands ändert sich nach der Zeitentwicklung nicht. (Der Drehimpuls bleibt erhalten.)

3. $[\hat H, e^{- i \theta \hat J}] = 0$: Die Energie eines Zustands ändert sich nicht, wenn der Zustand gedreht wird.

4. $[\hat H, \hat J] = 0$: Wenn man den Drehimpuls eines Zustands misst, ändert sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand danach eine bestimmte Energie hat, nicht. Das Gegenteil ist auch wahr. ($\hat H$Und$\hat J$können gleichzeitig diagonalisiert werden.)

Wir können sehen, dass Symmetrien und Erhaltungssätze in vielerlei Hinsicht miteinander verknüpft sind, weit über die einfache Aussage „Symmetrien geben Erhaltungssätze“ hinaus.

Erstaunlicherweise haben drei dieser vier Aussagen über die Quantenmechanik auch direkte Entsprechungen in der klassischen Mechanik!

1. $[X_H, X_J] = 0$: Einen Zustand zu rotieren und dann zeitlich zu entwickeln, ist dasselbe wie sich zeitlich zu entwickeln und dann zu rotieren. (Wir haben eine Symmetrie.)

2. $X_H(J) = 0$: Der Drehimpuls eines Zustands ändert sich nach der Zeitentwicklung nicht. (Der Drehimpuls bleibt erhalten.)

3. $X_J(H) = 0$: Die Energie eines Zustands ändert sich nicht, wenn der Zustand gedreht wird.

4. $\{H, J\} = 0$: Mir fällt keine klassische Bedeutung ein. (Fällt dir eins ein?)

Meiner Meinung nach fügen sich viele unterschiedliche Tatsachen auf angenehmere und einheitlichere Weise zusammen, sobald Sie über "Symmetrien" der Mechanik in Bezug auf die Kommutativität nachdenken. In anderen Bereichen der Physik bedeutet "Symmetrie" jedoch etwas völlig anderes (wie Eichsymmetrie). Ich denke, Sie müssen mit diesem wichtigen, aber schlüpfrigen Wort immer sehr vorsichtig sein ...

Dies ist im Wesentlichen Aussage 3 in meiner Phys.SE-Antwort hier , die auch einen Beweis und einige verwandte Aussagen enthält.

Aussage 3: "Eine Bewegungskonstante erzeugt eine Symmetrie und ist ihre eigene Noether-Ladung."

Ausführlicher:

1. Eine Off-Shell-Konstante der Bewegung$^1$ $Q$erfüllt per definitionem

   $$\{Q,H\} +\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0,\tag{1}$$ vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .

2. Es erzeugt eine Quasisymmetrie des Hamiltonschen Lagrangians

   $$L_H~:=~\sum_{i=1}^np_i\dot{q}^i-H.\tag{2}$$

3. Die entsprechende Noether-Ladung ist genau$Q$.$\Box$

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$^1$Wenn die Menge$Q$keine explizite Zeitabhängigkeit hat, dann per Definition

$$Q \text{ off-shell constant of motion} \quad\Leftrightarrow\quad Q \text{ and } H \text{ Poisson commute}$$ $$\quad\Leftrightarrow\quad Q \text{ generates a symmetry of the Hamiltonian } H.\tag{3}$$