Was bedeutet es, dass ein System unter Rotation invariant ist?
Alice Ryhl
Diese Frage ist eine Frage, um Verwirrung bezüglich der Invarianz unter Rotation und der damit verbundenen Erhaltung des Drehimpulses zu beseitigen.
Die Verwirrung entstand beim Studium des folgenden Problems:
Ein Teilchen mit der Masse bewegt sich reibungsfrei auf einer ebenen Fläche von A nach B mit der Geschwindigkeit . Nachdem das Teilchen den Punkt B passiert hat, beginnt jemand, das Teilchen mit einer dünnen Schnur, die vom Punkt P ausgeht, hineinzuziehen. Das Teilchen bewegt sich dann in einem Halbkreis von B nach C. Wenn das Teilchen den Punkt D erreicht, wird der Zug von der Saite stoppt und das Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung D.
Der Punkt O ist der Mittelpunkt zwischen B und C und der Mittelpunkt des Halbkreises von B nach C. Der Punkt P ist der Mittelpunkt zwischen O und C.
- Wie groß ist die Geschwindigkeit des Teilchens im Punkt C?
- Wie viel Arbeit verrichtet die Saite am Teilchen, wenn sie sich von B nach C bewegt?
- Wie lange dauert der Wechsel von B nach C?
Ich studierte die Lösung des Problems mit einem Freund. Die Lösung beinhaltet die Verwendung der Erhaltung des Drehimpulses, und es ist ziemlich offensichtlich, dass er um P herum erhalten bleibt, da die einzige Kraft im Vergleich zu P keine tangentialen Teile hat.
Während er über diese Erhaltung des Drehimpulses sprach, erwähnte mein Freund den Satz von Noether und sagte, dass der Drehimpuls erhalten bleibt, da das System bei Rotation um P unveränderlich ist.
Es macht Sinn, dass sich das System bei Drehung um P nicht ändert – alles wird einfach gedreht, und was? Ich verstehe nicht, warum das die Erhaltung des Drehimpulses impliziert, und ich verstehe nicht, warum es um einen anderen Punkt wie B nicht rotationsinvariant ist. Es sieht so aus, als hätte ich falsch verstanden, was es bedeutet, rotationsinvariant zu sein.
Eine vollständige Antwort auf diese Frage würde Folgendes beantworten: Was bedeutet es, rotationsinvariant zu sein, und warum impliziert dies die Impulserhaltung? Warum ist das aufgeführte Problem rotationsinvariant um P, aber nicht um B?
Ich habe weder die Lagrange- noch die Hamilton-Mechanik studiert.
Antworten (1)
Abhijeet Melkani
Der Satz von Noether besagt, dass jeder Erhaltungsgröße in einem dynamischen System eine Symmetrie zugeordnet ist und umgekehrt.
Angenommen, Sie haben ein System, für das die Energie erhalten bleibt. Dann, ob Sie jetzt ein Experiment damit durchführen oder ob Sie das Experiment durchführen Zeit später erhalten Sie die gleichen Ergebnisse. Das System ist unter Zeitübersetzung invariant.
Angenommen, Sie haben ein System, für das der Impuls in einer bestimmten Richtung erhalten bleibt, beispielsweise beim Zusammenstoß zweier Billardkugeln. Ob Sie dann das System in die gleiche Richtung verschieben und das Experiment durchführen oder ob Sie es hier durchführen, Sie werden die gleichen Ergebnisse erhalten. Vergleichen Sie dies mit dem System auf einem geneigten Billardtisch. Genauso wie Sie das System verschieben, würde der Impuls der Kugeln (aufgrund der Schwerkraft) zunehmen.
Zu Ihrer Frage: Rotationsinvariante um einen Punkt bedeutet Invarianz der Ergebnisse, wenn Sie das Experiment so durchführen, wie es ist, und wenn Sie es durchführen, nachdem es (sofort) um einen beliebigen Winkel um diesen Punkt gedreht wurde. Nehmen wir zum Beispiel an, ich befinde mich auf der Erdoberfläche, sagen wir in London, und führe ein Experiment durch (sagen wir, ich schwinge ein Pendel). Angenommen, ich drehe mich augenblicklich um die Erde und erreiche Paris. Vorausgesetzt, es gab keine Höhenänderungen und die Rotation war augenblicklich (weil wir keine Energieeinsparung annehmen), würde ich die gleichen Ergebnisse für das Experiment erhalten.
Schließlich ist es bezüglich Punkt B nicht unveränderlich, denn angenommen, Sie drehen das Experiment so um B, dass der Punkt P durch die Anfangsflugbahn des Teilchens verläuft. Dann wäre die resultierende Bewegung nicht dieselbe. Meiner Meinung nach ist das Drehen des Hamilton-Operators analog zum Drehen der Konfiguration des Aufbaus - der Potentiale und der Kraftquellen usw. - und nicht der Anfangsbedingungen der Flugbahn.
Ist es schlampig zu sagen, dass die Isotropie des Raums zur Erhaltung des Drehimpulses führt?
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