Elementares Argument für Erhaltungssätze aus Symmetrien *ohne* Verwendung des Lagrange-Formalismus

Aus dem Satz von Noether ist bekannt, wie man aus kontinuierlichen Symmetrien in der Lagrange-Funktion eine erhaltene Ladung erhält, die dem linearen Impuls, dem Drehimpuls für Translations- und Rotationssymmetrien und anderen entspricht.

Gibt es ein elementares Argument dafür, warum speziell der Linear- oder Drehimpuls (und nicht andere Erhaltungsgrößen) erhalten bleiben, für das keine Kenntnis der Lagrange-Funktion erforderlich ist? Mit elementar meine ich, "wenn das nicht so ist, dann passiert diese unvernünftige Sache".

Natürlich können wir sagen "wenn wir wollen, dass unsere Gesetze an einem anderen Punkt im Raum gleich sind, muss die lineare Erhaltung erhalten bleiben", aber können wir den Ausdruck für die Erhaltungsgröße mathematisch herleiten, ohne die Lagrange-Funktion zu verwenden?

Ich möchte einem Freund erklären, warum sie konserviert werden, aber er hat nicht den Hintergrund, um den Lagrange-Formalismus zu verstehen.

Haben Sie versucht, die Symmetrie der Metrik zu verwenden?
@safesphere Nein, dieses Argument war mir nicht bewusst. Haben Sie irgendwelche Ressourcen, auf die Sie mich verweisen können, um selbst nachzuforschen?

Antworten (3)

Die Antwort ist ja, die Essenz von Noethers Theorem für Linear- und Drehimpuls kann verstanden werden, ohne die Lagrange- (oder Hamilton-) Formulierung zu verwenden, zumindest wenn wir bereit sind, uns auf Modelle zu konzentrieren, in denen die Bewegungsgleichungen die Form haben

(1) m n x ¨ n = F n ( x 1 , x 2 , . . . )
wo m n und x n sind die Masse und der Ort der n -tes Objekt, Overhead-Punkte bezeichnen Zeitableitungen und F n ist die Kraft auf die n -tes Objekt, das von den Orten aller Objekte abhängt.

(Diese Antwort verwendet immer noch Mathematik, aber keine Lagrange- oder Hamilton-Operatoren. Eine Antwort, die keine Mathematik verwendet, ist ebenfalls möglich, aber sie wäre wortreicher und weniger überzeugend.)

Die Eingaben für den Satz von Noether sind das Aktionsprinzip zusammen mit einer (kontinuierlichen) Symmetrie. Für ein System wie (1) kann das Wirkungsprinzip wie folgt ausgedrückt werden:

(2) F n ( x 1 , x 2 , . . . ) = − ∇ n v ( x 1 , x 2 , . . . ) .
Der entscheidende Punkt dieser Gleichung ist, dass die Kräfte alle von derselben Funktion abgeleitet werden v . Frei übersetzt heißt das, wenn die Kraft auf das Objekt wirkt EIN hängt vom Standort des Objekts ab B , dann die Kraft auf das Objekt B muss auch (in besonderer Weise) vom Ort des Objekts abhängen EIN .

Betrachten Sie zunächst den linearen Impuls. Nehmen Sie an, dass das Modell unter Verschiebungen im Raum unveränderlich ist. Im Kontext des Satzes von Noether ist dies eine Aussage über die Funktion v . Das ist wichtig! Wenn wir lediglich annehmen, dass das Gleichungssystem (1) unter Translationen im Raum unveränderlich ist, dann würde die Impulserhaltung nicht impliziert. (Um dies zu sehen, betrachten Sie ein System mit nur einem Objekt, das einer ortsunabhängigen Kraft ausgesetzt ist.) Was wir tun müssen, ist dies anzunehmen v ist unter Translationen im Raum unveränderlich. Das heisst

(3) v ( x 1 + c , x 2 + c , . . . ) = v ( x 1 , x 2 , . . . )
für alle c . Dieselbe Bedingung kann auch so ausgedrückt werden:
(4) ∂ ∂ c v ( x 1 + c , x 2 + c , . . . ) = 0 ,
wo ∂ / ∂ c bezeichnet den Gradienten bzgl c . Gleichung (4) wiederum kann auch so geschrieben werden:
(5) ∑ n ∇ n v ( x 1 x 2 , . . . ) = 0.
Kombiniere die Gleichungen (1), (2) und (5), um zu erhalten
(6) ∑ n m n x ¨ n = 0 ,
was man auch schreiben kann
d d t ∑ n m n x ˙ n = 0.
Dies ist die Erhaltung des (gesamten) linearen Impulses.

Betrachten Sie nun den Drehimpuls. Dafür müssen wir davon ausgehen v ist invariant unter Drehungen. Um genau zu sein, nehme das an v ist invariant unter Drehungen um den Ursprung; dies führt zur Erhaltung des Drehimpulses um den Ursprung. Das Analogon von Gleichung (5) ist

(7) ∑ n x n ∧ ∇ n v ( x 1 x 2 , . . . ) = 0
wo die Komponenten von x ∧ ∇ sind x j ∇ k − x k ∇ j . (Für den dreidimensionalen Raum wird dies normalerweise mit dem "Kreuzprodukt" ausgedrückt, aber ich bevorzuge eine Formulierung, die in beliebig vielen Dimensionen funktioniert , damit sie bedenkenlos auf einfachere Fälle wie den zweidimensionalen Raum angewendet werden kann.) Gleichung ( 7) drückt die Annahme aus, dass v ist bei Drehungen um den Ursprung invariant. Kombiniere wie zuvor die Gleichungen (1), (2) und (7), um zu erhalten
(8) ∑ n x n ∧ m n x ¨ n = 0 ,
und verwenden Sie die triviale Identität
(9) x ˙ n ∧ x ˙ n = 0
(da a ∧ b hat Komponenten a j b k − a k b j ), um zu sehen, dass Gleichung (8) auch geschrieben werden kann
(10) d d t ∑ n x n ∧ m n x ˙ n = 0.
Dies ist die Erhaltung des (Gesamt-)Drehimpulses um den Ursprung.

Eine faszinierende Nebenbemerkung: Wenn dies nicht funktioniert, sagt es etwas über das Universum aus - entweder ist es mit der Gleichung, mit der Sie begonnen haben, nicht gut beschrieben, oder es hat keine Translationssymmetrie. Ich finde, dass das Nachdenken über diesen Fall und was das bedeuten würde, wie unsere Welt funktionieren müsste, mir eine große Wertschätzung für die Tatsache gibt, dass diese Gleichung und diese Symmetrien sicher zu funktionieren scheinen!

Versuchen Sie den Hamilton-Formalismus : Wenn der Symmetriegenerator Q pendelt mit dem Hamiltonian [ Q , H ] = 0 dann Q ist eine Erhaltungsgröße.

Sicher, aber das ist QM. Was ist mit der klassischen Physik?
Das funktioniert auch in der klassischen Mechanik wo [ ⋅ , ⋅ ] ist die Poisson-Klammer.
Das habe ich mir schon gedacht, aber da ich an die {}-Notation gewöhnt bin ... haha. Wie auch immer, Sie sollten dies Ihrer Antwort hinzufügen.
@Qmechanic Ist es in der klassischen Mechanik richtig, die Poisson-Klammer zu interpretieren? { f , H } von zwei Funktionen f , H wie folgt? " { f , h } misst die Ableitung von f entlang der Kurvenlinien von H , was die partielle Ableitung entlang des Vektors bedeutet X die tangential zu den Kurvenlinien von ist H ( X ein Hamiltonsches Vektorfeld zu sein)." Dies ist die ungefähre Idee, die ich beim Lesen von CM bekommen habe, aber ich weiß nicht, ob sie streng ist. Da X gibt im Wesentlichen den Zeitfluss f ist in der Zeit erhalten, wenn sie entlang der Kurvenlinien von konstant ist H , die die konstanten Energietrajektorien im Phasenraum sind.
Ja, d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t .

Gibt es einen Unterschied zu sagen, dass dies nur die Gesetze sind und es wirklich keine Erklärung dafür gibt, dass die Natur einfach so funktioniert, weil es keine Experimente gibt, bei denen wir jemals beobachtet haben, dass diese Mengen nicht erhalten bleiben? Symmetrie unter der Wirkung der Poincaré-Gruppe impliziert diese Erhaltungsgesetze, aber ich bin mir nicht sicher, ob Sie darin eine tiefere Erklärung geben. Wir legen fest, dass physikalische Systeme diese Symmetrien haben, weil wir wollen, dass etwas erhalten bleibt, und wie beweist man die Richtigkeit der Hypothese der Existenz einiger Symmetrien? Durchführung von Experimenten, die die Erhaltung bestimmter Größen zeigen. Wir sind also wieder am Anfang, sie sind konserviert, weil sie konserviert sind, das heißt, Experimente sagen uns, dass sie konserviert sind.

Die Frage ist: "Können wir den Ausdruck für die Erhaltungsgröße mathematisch herleiten, ohne die Lagrange-Funktion zu verwenden ?" Ihre Antwort geht überhaupt nicht auf die Frage ein. Es geht nicht um die Philosophie, warum Naturschutz stattfindet.
@Beanluc Im ursprünglichen Beitrag wird gefragt: "Gibt es ein elementares Argument dafür, warum speziell Linear- oder Drehimpuls (und nicht andere konservierte Größen) konserviert werden, für das keine Kenntnis der Lagrangianer erforderlich ist?" Und ich habe ein Argument vorgebracht, das die Verwendung von Lagrange nicht erfordert, indem ich sagte, dass es Erhaltungsgesetze gibt, weil es so funktioniert.
Ich stimme zu, dass es am Ende kreisförmig ist, so streng genommen können Sie die Symmetrien nicht vollständig rechtfertigen. Sie können die Frage jedoch auf unterschiedliche Weise formulieren, und dies könnte Ihnen Einblicke geben. Lagrangians machen es wirklich einfach zu verallgemeinern, aber für mich sind sie nicht sehr aufschlussreich. Der von Dan aufgedeckte Ansatz über Potentiale ist einfacher zu verstehen, obwohl es im Grunde ein Axiom ist, warum Kräfte durch Potentiale dargestellt werden, man kann es nicht beweisen, aber es ist für mich leichter zu schlucken.
Elementares Argument für Erhaltungssätze aus Symmetrien *ohne* Verwendung des Lagrange-Formalismus
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