Ist es schlampig zu sagen, dass die Isotropie des Raums zur Erhaltung des Drehimpulses führt?

Manchmal wird gesagt, dass die Isotropie des Raums zur Erhaltung des Drehimpulses führt . Aber die Ableitung der Drehimpulserhaltung folgt nicht aus der Isotropie des Raumes, sondern aus der der Wirkung . Wir wissen, dass der Raum um uns herum nicht isotrop ist, aber der Drehimpuls bleibt erhalten, wenn die Aktion rotationssymmetrisch ist.

Ist es daher schlampig zu sagen, dass die Isotropie des Raums zur Erhaltung des Drehimpulses führt ?

"Wir wissen, dass der Raum um uns herum nicht isotrop ist" Wir tun es?
Will man den Satz von Noether anwenden, braucht man ein Wirkprinzip.
@dmckee Wenn ein an eine Schnur gebundener Stein mit konstanter Winkelgeschwindigkeit im Kreis gedreht wird, ist der entsprechende Lagrangian rotationsinvariant, was zur Erhaltung des Drehimpulses führt. Aber der Raum, in dem ich es mache, zum Beispiel in der Mitte meines quadratischen Raums, hat keine rotationssymmetrische Umgebung.
@SRS Das ist keine Anisotropie des Raums, sondern eine Anisotropie von Dingen. Wenn Ihr Experiment nicht empfindlich auf die Schwerkraft der Wände reagiert (oder gegen sie stößt), spielen sie keine Rolle. Aus diesem Grund funktioniert es direkt in der horizontalen Ebene und nicht in der vertikalen (weil Sie empfindlich auf die Schwerkraft des Planeten reagieren) .
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Antworten (3)

Die Begriffe "Isotropie des Raums" und "Rotationsinvarianz der Wirkung" werden als Synonyme genommen, da das eine das andere in der allgemeinen Relativitätstheorie impliziert. Es wird davon ausgegangen, dass die beobachteten Anisotropien des Raums auf das Vorhandensein von Materie zurückzuführen sind, die am Austausch des Drehimpulses teilnimmt, daher wäre es genauer zu sagen: "Wenn der Raum in Abwesenheit von Materie / Energie isotrop ist, dann der Drehimpuls wird konserviert."

Genauer gesagt, wenn der Spannungs-Energie-Tensor Null ist (Abwesenheit von Materie/Energie), ist die Krümmung Null. In Bezug auf die Einstein-Feldgleichungen :

R μ v − 1 2 R G μ v + Λ G μ v = 8 π G C 4 T μ v = 0 ⇒ R μ v = 0 ,
das heißt, der Ricci-Krümmungstensor ist Null. Wenn wir davon ausgehen, dass die Christoffel-Symbole , metrisch kompatibel und torsionsfrei sind, haben sie diese Form:
Γ ich k l ich = 1 2 G ich M ( ∂ G M k ∂ X l + ∂ G M l ∂ X k − ∂ G k l ∂ X M ) .
Denn die Ricci-Krümmung wird durch die Christoffel-Symbole als definiert
R μ v = ∂ ρ Γ ρ v μ ρ − ∂ v Γ ρ ρ μ ρ + Γ ρ ρ λ ρ Γ λ v μ λ − Γ ρ v λ ρ Γ λ ρ μ λ ,
R μ v = 0 impliziert eine Reihe von Dingen, aber die relevante Implikation für Ihre Frage ist, dass die Metrik rotationsinvariant ist. Eine rotationsinvariante Metrik ist gleichbedeutend mit Raumisotropie.

Zugegebenermaßen verlangend T μ v = 0 ist eine zu starke Bedingung. Das reicht aus T μ v ist unter räumlichen Rotationen (Isotropie von Spannung/Energie) invariant, um eine Isotropie des Raums zu erhalten.

Die Verbindung zur Aktion besteht darin, dass die Einstein-Feldgleichungen abgeleitet werden, indem der stationäre Punkt der Einstein-Hilbert-Aktion zu der Aktion hinzugefügt wird, die den Rest der Physik in Bezug auf den metrischen Tensor beschreibt. G μ v .

Meinen Sie, ob es eine Anisotropie des Raums gibt, die in der Lagrange-Funktion codiert werden muss? Bitte beachten Sie meinen Kommentar zu dmckee. @SeanE.Lake
Ja, so ziemlich.
Die Christoffel-Symbole haben diese Form für jede metrisch kompatible und torisonfreie Verbindung. und der springende Punkt der allgemeinen Relativitätstheorie ist, dass es ein bedeutungsloses Konstrukt ist, von „Raum ohne Materie/Energie“ zu sprechen.
@JerrySchirmer Sie sagen also, dass es nicht möglich ist, eine Raumzeit sinnvoll zu konstruieren T μ v = 0 ? Warum ist das so? Einsteins Feldgleichungen machen damit Sinn, ebenso die Einstein-Hilbert-Wirkung.
@ SeanE.Lake: Es gibt jedoch keine eindeutige Lösung, sie hängt von den Anfangsbedingungen und der Randbedingung ab, und Sie haben Konstruktionen wie Geons, die zu Schwarzen Löchern kollabieren, zeigen, dass die Abhängigkeit von "Materie / Energie" der zugrunde liegenden Geometrie und der "Krümmung "Abhängigkeit der zugrunde liegenden Geometrie kann austauschbar sein. Außerdem gibt es keine koordinatenfreie Möglichkeit, den Beitrag der „Materie“ zur Raumzeit vom Beitrag der „Krümmung“ zur Raumzeit zu trennen.
Sind Gravitationswellen ohne Energieinhalt? Ein Schwarzschild-Schwarzes Loch? Jene sind T μ v = 0 auch Lösungen.
@JerrySchirmer Ist wirklich ein Schwarzschild-Schwarzes Loch T μ v = 0 überall? Nach meinem Verständnis hat es eine Singularität am Ursprung (dh eine Punktmasse). Der Rest, Sie haben Recht, hängt von den Randbedingungen ab.
@SeanE.Lake: Was Sie mit dem "Zentrum" meinen, ist schwer aus einer Schwarzschild-Raumzeit zu extrahieren - es ist eine raumähnliche Oberfläche innerhalb des Horizonts, und die normale Ebene zu den meisten zeitähnlichen äußeren Geodäten schneidet sie nicht. Und kollidierende Gravitationswellen können zu einem Schwarzen Loch kollabieren, daher ist es schwierig, die Singularität als „Materie enthaltend“ zu interpretieren, wenn Sie „Materie“ im Unterschied zu „Krümmung“ theoretisieren und die Singularität „aus Materie besteht“.

Sicher, ich denke schon. Aber in GR haben rotationsinvariante Metriken Killing-Felder, die die Symmetrierotation erzeugen, und das innere Produkt der geodätischen Vierergeschwindigkeiten und dieser Killing-Felder wird konserviert, was es uns ermöglicht, einen konservierten "Winkelimpuls" zu definieren, der wirklich direkt aus der Isotropie folgt des Raums selbst, ohne eine Aktion angeben zu müssen (solange Sie damit einverstanden sind, anzunehmen, dass sich frei fallende Partikel entlang Geodäten bewegen).

@tparker hat Recht damit, dass im Allgemeinen die Isometrien der Raumzeit (dh ein Killing-Vektorfeld oder eine Lie-Ableitung der Metrik, die Null ist) zu einer Symmetrie des Spannungsenergietensors führen (seine Lie-Ableitung in Bezug auf dasselbe Feld ist Null). ) und außerdem, dass man eine Erhaltungsgröße in Bezug auf den Spannungsenergietensor definieren kann. So bleibt Energie bei zeitartigen Killing-Feldern erhalten, Impuls bei raumartigen und Drehimpuls bei Killing-Feldern, die einer Rotationsgruppe gehorchen (Isotropie).

Wie in den Kommentaren zur ersten Antwort diskutiert, aber nicht vollständig dargelegt, können drei Aussagen gemacht werden: 1) die Selbstkonsistenz des EFE erlegt der „Materieenergie“ Symmetrien auf, die diese Raumzeit bilden und aufrechterhalten können; 2) Wenn Sie einen Teil der Umgebung (z. B. die quadratischen Wände) ignorieren, ignorieren Sie einen N integralen Teil der Definition des Felds, und Sie erhalten nicht das Erhaltungsgesetz, das ansonsten gilt. und 3) die Dinge sind eindeutig nicht so einfach, und tatsächlich führt das Postulieren einer „Materie-Energie“- oder Spannungsenergie-Tensorsymmetrie nicht unbedingt zu einer Raumzeitsymmetrie.

Die Gleichung ist nichtlinear und die Entsprechung von 'Materie-Energie-Symmetrien' zu Raumzeit-Symmetrien folgt nicht. Es gibt eine lange Forschungsgeschichte auf diesem Gebiet mit Gegenbeispielen und verschiedenen Ergebnissen für Bedingungen, wenn sie äquivalent sind; Allgemeiner gesagt gibt es eine Reihe möglicher Definitionen der „Materie-Energie-Symmetrien“, bei denen die Äquivalenz in einigen Fällen mehr und in anderen weniger gilt, aber es gibt keine Eins-zu-eins-Beziehung. Siehe zum Beispiel ein Papier um 1993, in dem die Implikationen verschiedener Definitionen beschrieben und Ergebnisse erhalten wurden. Es gab kinetische Theorien, Materiesymmetrien, Materiekollineationen, perfekte Flüssigkeitsmodellsymmetrien, elektromagnetische Symmetrien und andere. Ein Teil des Problems ist natürlich die Tatsache, dass in GR die Gravitationsenergie (und Impuls und Spannung) Teil der Raumzeitgeometrie ist, und man kann diese niemals unveränderlich trennen, wenn man nicht zuerst die Raumzeit-Isometrien auferlegt. Siehe das Papier unterhttps://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00672696 . Sie können viele Artikel zu diesem Thema googeln, die bis in die frühen 70er Jahre zurückreichen. Die intuitive Vorstellung, dass eine „Materie-Energie“-Symmetrie im Allgemeinen zu einer Raumzeit-Isometrie führt, wurde nie bewiesen, aber bestimmte Beziehungen haben es.

Wenn Sie die Materieverteilung als isotrop ansehen und dann davon ausgehen, dass die Raumzeit isotrop ist, wurde dies meines Wissens nie bewiesen. Ich glaube auch nicht, dass es widerlegt wurde.

Ist es schlampig zu sagen, dass die Isotropie des Raums zur Erhaltung des Drehimpulses führt?
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