Inwiefern ist die Energieerhaltung und der Satz von Noether eine nicht triviale Aussage?

Question

Inwiefern ist die Energieerhaltung und der Satz von Noether eine nicht triviale Aussage?

Physik
Symmetrie
komplexe Systeme
Noethers-Theorem
Erhaltungsgesetze
klassische Mechanik

Der_Sympathisant

Der Satz von Noether besagt, dass die Energieerhaltung ein Ergebnis der zeitlichen Translationssymmetrie der Gesetze der Physik ist. Dies ist implizit – und ich sage nicht, dass es nicht so ist – eine sehr nicht triviale Aussage. Wie kommt es dann, dass es nicht so trivial erscheint, wenn wir versuchen, diese informelle Aussage auf die folgende scheinbar sehr natürliche und intuitive Weise zu formalisieren?

Um die behauptete Aussage formal zu verstehen, müssen wir zwei Dinge verstehen: was ein "physikalisches Gesetz" ist und was "zeitliche Translationssymmetrie" ist. Und die theoretische Mathematik scheint eine recht ordentliche Antwort auf das erste zu geben – was ein dynamisches System genannt wird .

Ein dynamisches System ist ein Tripel $(M, T, \Phi)$ bestehend aus einem Satz $M$ heißt Phasenraum , ein Monoid (ein Satz, in dem Sie Elemente zusammenfügen können, grob gesagt) $T$ Raumzeit genannt , und schließlich eine Familie von Karten $\{ \Phi^t \}_{t \in T}$ , $\Phi^t : M \rightarrow M$ , genannt Evolution , Flow , oder wenn wir so wollen, Physik , die die folgende Halbgruppeneigenschaft erfüllen : for all $P \in M$ und Zeiten $s, t \in T$ ,

Φ^{0} (P) = P

$\Phi^0(P) = P$

Φ^{S} (Φ^{T} (P)) = Φ^{T + S} (P)

$\Phi^s(\Phi^t(P)) = \Phi^{t + s}(P)$

. Ich sage, das ist sehr intuitiv, weil es ziemlich direkt dem entspricht, was wir uns unter physikalischen Gesetzen vorstellen: Sie nehmen, was wir über die Gegenwart wissen, dh den Phasenraumpunkt $P$ , und sie sagen die Zukunft voraus, dh was nach einiger Zeit der Fall sein wird: das heißt $\Phi^t(P)$ .

(Außerdem eine Anmerkung: zumindest in der Physik $T$ wird typischerweise als reelle Zahl angenommen $\mathbb{R}$ , zusammen mit Zusatz. In der spezifisch klassischen Mechanik $M$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und insbesondere eine "symplektische Mannigfaltigkeit", also hat sie eine zusätzliche Struktur, die über die rein topologische und analytische hinausgeht. Für ein einfaches System, das aus einem sich bewegenden punktartigen Objekt besteht, sind die Elemente von $M$ sind Paare $(X, \mathbf{p})$ einer Stelle $X$ und Schwung $\mathbf{p}$ .)

Wir können dann eine Symmetrie des dynamischen Systems als bijektive Selbstabbildung definieren $S: M \rightarrow M$ des Phasenraums in sich, der die Dynamik respektiert, also für alle $P \in M$ Und $t \in T$ ,

Φ^{T} (S (P)) = S (Φ^{T} (P))

$\Phi^t(S(P)) = S(\Phi^t(P))$

.

Anders ausgedrückt, wenn wir den Phasenraum durch die Symmetrie transformieren, erzeugt der transformierte Punkt eine Geschichte, die einfach die Transformation der Geschichte des ursprünglichen Punkts ist, dh beide werden durch dasselbe Gesetz der Physik erzeugt $\Phi$ . Oder anders ausgedrückt, Symmetrien sind eine Art "Automorphismus" des dynamischen Systems.

Aber hier ist die Sache: Jedes Mal, wenn Übersetzer, $\Phi^s$ , ist eine Symmetrie von $\Phi$ nach dieser Definition, und das bedeutet, dass es implizit immer eine konservierte Energie geben sollte, oder? Und wenn uns eine Zeitreihe gegeben würde, die nicht durch ein dynamisches System wie oben beschrieben gegeben werden könnte, z. B. zwei Werte in der Reihe gleich waren, aber mit unterschiedlichen Werten, die ihnen folgen, so dass die Halbgruppeneigenschaft versagt oder sich äquivalent die Trajektorie selbst schneidet, können wir immer nur den Phasenraum vergrößern. Und dann können wir noch einmal eine Art konservierter "Energie" ausdrücken.

Mit anderen Worten, alle dynamischen Systeme sind zeitsymmetrisch und erhalten dadurch eine gewisse Größe, die wir möglicherweise als Energie bezeichnen könnten.

Warum also ist die Aussage, dass Energie konserviert wird, eine „nichttriviale“ Aussage über das Universum, wenn wir uns immer etwas einfallen lassen können, das man eine „konservierte Energie“ nennen kann? Oder anders ausgedrückt, wie kommt es, dass die zeitliche Translationssymmetrie nicht trivial ist, wenn sie im Wesentlichen in die Definition dynamischer Systeme und Phasenräume eingebacken ist (insbesondere folgt sie aus der Nichtkreuzung von Phasenraumtrajektorien) ?

Richard Meyer

Es ist erwähnenswert, dass die Existenz von Erhaltungsgrößen wirklich nur die halbe Kraft von Noethers Theorem ist. Es gibt auch den Zusammenhang zwischen den erhaltenen Ladungen und der Symmetrietransformation über die Poisson-Klammer in der kanonischen Formulierung des Systems.

Der_Sympathisant

@Richard Myers: Ich habe so etwas vermutet - dass der Satz ein zusätzliches Detail im "entspricht" versteckt hat: Der Satz behauptet eine spezifische Entsprechung zwischen einer konservierten Größe und einer Symmetrie der Dynamik.

Myridium

In der klassischen Mechanik zwei Funktionen der Impulse und Koordinaten

F (p_{i}, q_{i}), G (p_{i}, q_{i})

$F(p_i, q_i), G(p_i, q_i)$ eine Poisson-Klammer von Null haben,

{F, G} = 0

$\{F, G\} = 0$ , genau dann, wenn die infinitesimale Phasenraumtransformation damit verbunden ist $G$ hinterlässt den Wert von

F

$F$ unveränderlich. Die Vorderseite

G, F

$G,F$ stimmt auch. In dem Fall, dass

G

$G$ der Hamiltonoperator des Systems ist, dann ist die zugehörige Phasenraumtransformation

G

$G$ ist diejenige, der das System folgt, wenn es sich mit der Zeit entwickelt. Die Energieeinsparung wird von anderen Erhaltungsgrößen wie unterschieden

{H, H} = 0

$\{H,H\} = 0$ .

Benutzer253751

Ich sehe den Sprung nicht. Wie kommt man ohne den Satz von Noether aus "

Φ^{s}

$\Phi^s$ ist eine Symmetrie" zu "es gibt eine Erhaltungsgröße"?

Antworten (6)

Inwiefern ist die Energieerhaltung und der Satz von Noether eine nicht triviale Aussage?

Es ist erwähnenswert, dass die Existenz von Erhaltungsgrößen wirklich nur die halbe Kraft von Noethers Theorem ist. Es gibt auch den Zusammenhang zwischen den erhaltenen Ladungen und der Symmetrietransformation über die Poisson-Klammer in der kanonischen Formulierung des Systems.
@Richard Myers: Ich habe so etwas vermutet - dass der Satz ein zusätzliches Detail im "entspricht" versteckt hat: Der Satz behauptet eine spezifische Entsprechung zwischen einer konservierten Größe und einer Symmetrie der Dynamik.
In der klassischen Mechanik zwei Funktionen der Impulse und Koordinaten $F(p_i, q_i), G(p_i, q_i)$ eine Poisson-Klammer von Null haben, $\{F, G\} = 0$ , genau dann, wenn die infinitesimale Phasenraumtransformation damit verbunden ist $G$ hinterlässt den Wert von $F$ unveränderlich. Die Vorderseite $G,F$ stimmt auch. In dem Fall, dass $G$ der Hamiltonoperator des Systems ist, dann ist die zugehörige Phasenraumtransformation $G$ ist diejenige, der das System folgt, wenn es sich mit der Zeit entwickelt. Die Energieeinsparung wird von anderen Erhaltungsgrößen wie unterschieden $\{H,H\} = 0$ .
Ich sehe den Sprung nicht. Wie kommt man ohne den Satz von Noether aus " $\Phi^s$ ist eine Symmetrie" zu "es gibt eine Erhaltungsgröße"?

Andreas · Answer 1

Hier sind ein paar Beobachtungen, die meiner Meinung nach zusammen eine Antwort auf Ihre Frage bilden (obwohl ich nicht sicher bin, ob ich der gesamten Notation im Hauptteil der Frage gefolgt bin).

Jede Lösung einer (skalaren) Differentialgleichung zweiter Ordnung hat zwei Konstanten, die der Lösung zugeordnet sind, nämlich die beiden Integrationskonstanten. Im Allgemeinen nennen wir diese Konstanten jedoch normalerweise nicht Erhaltungsgrößen , da sie nicht nur mit den dynamischen Freiheitsgraden zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnet werden können. Mit anderen Worten: die Energie eines harmonischen Oszillators zur Zeit zu berechnen $t$ , wir brauchen nur die Position und die Geschwindigkeit zur Zeit zu kennen $t$ (plus Konstanten wie die Schwingungsfrequenz). Allerdings, um die Anfangsbedingungen irgendwann zu kennen $t_0$ , müssen wir die Bewegungsgleichungen in der Zeit zurück integrieren. Für einen harmonischen Oszillator können wir dies natürlich tun und tun dies oft und beziehen die Anfangsbedingungen auf die Energie. In diesem Fall können die Anfangsbedingungen wiederhergestellt werden, wenn der Zustand des Systems nur zum aktuellen Zeitpunkt (bis zu einer Phase) bekannt ist. Aber für ein System ohne Energieerhaltung könnten Sie die Anfangsbedingungen nur berechnen, indem Sie das System rückwärts entwickeln; Sie können die Anfangsbedingungen nicht direkt berechnen, wenn Sie nur den Zustand des Systems zu einem späteren Zeitpunkt angeben.
Natürlich gibt es dynamische Systeme ohne Erhaltungsgrößen. Nämlich jedes System ohne Zeittranslationsinvarianz (wie z. B. ein harmonischer Oszillator, bei dem sich die Schwingungsfrequenz mit der Zeit ändert). Ihr Formalismus sollte dies sehen können (obwohl mir nicht 100% klar ist, wie), aber für ein System mit einem zeitabhängigen Hamilton-Operator, um den Evolutionsoperator (den Sie genannt haben $\Phi^s$ ) sollten Sie beide die Anfangszeit angeben müssen $t_0$ und das letzte mal $t$ zu dem Sie das System weiterentwickeln.

Zusammenfassend ist der nicht triviale Aspekt von Energie, dass es sich um eine Aussage über eine Größe handelt, die nur anhand des Zustands des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnet werden kann. Wir können Phasenraumtrajektorien auch mit Anfangsbedingungen beschriften, aber (im Gegensatz zu Energie) die einzige Möglichkeit, die Anfangsbedingungen zu berechnen (angegebener Zustand zu einem späteren Zeitpunkt $t$ ist es, das System zurück zu der ursprünglichen Zeit zu entwickeln.

Danke, und ja - für den harmonischen Oszillator, die Evolutionskarte $\Phi^t$ ist im Wesentlichen nur eine Rotation im Phasenraum um den Ursprung ( $X = p = 0$ ) mit entsprechender Winkelfrequenz. Der relevante Trick besteht also darin, einen allgemeineren Evolutionsoperator zu betrachten, der sowohl das Zeitinkrement als auch eine aktuelle Zeit verwendet, dh $\Phi^{t \rightarrow t'}$ , wobei diese Notation anzeigt, dass die Karte einen Zustand entwickelt, der zu einem bestimmten Zeitpunkt aufgezeichnet wurde $t$ zu der Zeit $t'$ . Zeitsymmetrie bedeutet dann, dass diese unabhängig von ist $t$ , die Entstehungszeit, dh die Dynamik kann die gerade im Beitrag beschriebene Form erhalten.
(Oder anders ausgedrückt, dass unter dem gegebenen dynamischen Gesetz der aktuelle Zustand die Zukunft eindeutig spezifiziert, ohne dass zusätzliche Informationen eingegeben werden müssen.)
Und tatsächlich, dass es eine erhaltene Energie gibt, liegt einfach daran, dass man eine Funktion einsetzen kann, die die Stromlinien im Phasenraum als ihre Pegelkurven hat. Sie können das nicht tun, wenn sich Kurven kreuzen, sonst hätten Sie keine Funktion, sondern eine Eins-zu-Viele-Beziehung.

Roger Wadim · Answer 2

Energieerhaltung bedeutet, dass die Bewegungsgleichungen ein erstes Integral haben. Dies ist eine nicht triviale Aussage, da sie eine Teilmenge von Gleichungen aus allen vorstellbaren Arten von Gleichungen auswählt.

Während viele empirisch gewonnene Bewegungsgleichungen bekanntermaßen ein solches Integral haben, macht der Satz von Noether diese Aussage aufgrund der Homogenität der Zeit in der allgemeinsten Form.

QMechaniker · Answer 3

Einerseits geht der Satz von Noether in seiner ursprünglichen Formulierung von einer Aktionsformulierung aus. Dem Setup von OP (v1) fehlt dies. Die Wirkungsformulierung führt unter anderem auf die Standardformel für Energie (die natürlich die Noether-Ladung für Zeitübersetzungen ist), vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Andererseits gibt es angesichts der Tatsache, dass nur OPs dreifach sind, keine klare Definition von Energie. Man darf normalerweise keine alte Integrationskonstante der EOMs auswählen und behaupten, es sei die Energie.

Eine andere Interpretation zur Beantwortung dieser Frage wäre also, dass Noethers Theorem von einer etwas restriktiveren Formulierung der Idee eines "physikalischen Gesetzes" abhängt, oder?
Danke. Auch in Bezug auf Ihre Aussage "es gibt keine klare Definition von Energie", habe ich viele sagen hören, "die Definition von Energie ist, dass es sich um die konservierte Größe handelt, die der Symmetrie unter zeitlicher Übersetzung entspricht". Zeigt dies ein Problem mit dieser Idee auf, weil Ihr Punkt (2) eine bereits bestehende Definition von Energie zu implizieren scheint, bevor wir über Verbindungen mit zeitlicher Übersetzung sprechen können?
Das obige Zitat (das viele sagen) ist an sich keine vollständige Definition von Energie.

Der_Sympathisant · Answer 4

Dies ist ein Teil einer Antwort; noch keine vollständige Antwort.

Das Problem mit der Frage, wie ich sie formuliert habe, ist, dass diese Definition von Dynamik möglicherweise nicht das ist, was viele Physiker im Sinn haben, obwohl sie sehr intuitiv ist, weil sie im Grunde besagt, dass ein dynamisches oder physikalisches Gesetz etwas ist, was Sie sind können Sie verwenden, um die Zukunft aus der Gegenwart vorherzusagen, wenn Sie den gegenwärtigen Zustand berücksichtigen und wie weit Sie in die Zukunft gehen möchten.

In meinen Kommentaren unter @Andrews Beitrag habe ich diesen Teil ein wenig diskutiert, und das Problem ist etwas subtil: Der Phasenraum ist der gegenwärtige Zustand des Systems , wir können uns jedoch einen Verlauf vorstellen, der durch Anwendung eines solchen erzeugt wird $\Phi$ Familie für eine bestimmte Zeitspanne, dann bewerben Sie sich danach für eine andere und dann für eine weitere und so weiter und so fort. Dies wäre nach der gegebenen Definition kein dynamisches System, sondern würde ein "sich änderndes physikalisches Gesetz" genau so darstellen, wie wir es uns über das Kontrapositiv von Noethers Theorem vorstellen, vorausgesetzt, wir nehmen an $\Phi$ das Objekt zu sein, das den Begriff des "physikalischen Gesetzes" präzisiert.

Um den Satz von Noether sowohl in der zeitlichen als auch in der räumlichen Translationssymmetrie als nicht triviale Aussage zu diskutieren, müssen wir daher zugeben, dass die Definition der Dynamik, die wir gegeben haben, in gewissem Sinne zu streng war. Eine mögliche lockerere Definition, um das Obige zu erfassen, ist die der Kartenfamilie $\Phi$ hat sowohl ein Zeitinkrement als auch eine Startzeit, zu der das Inkrement angewendet werden soll: Wir könnten die Notation in ändern $\Phi_{t, \Delta t}$ Stattdessen ist es, um zu betonen, kein einfacher iterativer Prozess mehr. Die semantische Bedeutung dieser Karte ist „interpretieren Sie den übergebenen physikalischen Zustand als zu einem bestimmten Zeitpunkt aufrechterhalten $t$ . Dann entwickeln Sie es weiter $\Delta t$ nach den einschlägigen Gesetzen der Zeit." Und wir fordern Folgendes: Nochmals,

Φ_{T, 0} (P) = P

$\Phi_{t,0}(P) = P$

aber jetzt modifizieren wir das Halbgruppengesetz zu

Φ_{T + Δ T, Δ S} (Φ_{T, Δ T} (P)) = Φ_{T, Δ T + Δ S} (P)

$\Phi_{t+\Delta t,\Delta s}(\Phi_{t, \Delta t}(P)) = \Phi_{t, \Delta t + \Delta s}(P)$

wobei wir nun die weitere Entwicklung durch notieren $\Delta s$ muss explizit zu dem Zeitpunkt gestartet werden, an dem die erste Evolution vorbei ist $\Delta t$ aufgehört, dh $t + \Delta t$ von der Anfangszeit $t$ in welchem Zustand $P$ ist gültig. Dieser Teil wird benötigt, da sich die Gesetze zu diesem Zeitpunkt möglicherweise geändert haben.

In diesem Formalismus kann die zeitliche Übersetzungssymmetrie so definiert werden, dass sie dies aussagt $\Phi_{t,\Delta t}(P)$ ist unabhängig von der Startzeit $t$ , und ist daher jetzt keine triviale Aussage mehr - wir können Fälle haben, in denen es fehlschlägt. Oder anders ausgedrückt, die zeitliche Translationssymmetrie ist im Grunde die Aussage, dass die Dynamik auf dem gegebenen Phasenraum ein dynamisches System bildet, wie wir es früher definiert haben.

Allerdings scheint es immer noch möglich, den Phasenraum zu vergrößern, und dann stehen wir wieder vor dem gleichen Problem. Hier kommt jedoch die Antwort von @Qmechanic ins Spiel: Energie ist nicht irgendeine zufällige Größe, die wir mit der Zeit erhalten können . Es ist eine sehr spezifische solche konservierte Größe - und das würde eine weitere Erläuterung erfordern, und hier muss meine Antwort ihre Parteilichkeit offenbaren.

rschwieb · Answer 5

Hier ist meine Meinung zur Titelfrage: Wie ist die Energieeinsparung und der Satz von Noether eine nicht triviale Aussage?

Betrachten Sie dieses Zitat aus Spivaks Kalkül über Mannigfaltigkeiten

Der Satz von Stokes teilt drei wichtige Attribute mit vielen voll entwickelten Hauptsätzen:

Es ist trivial

Es ist trivial, weil die darin vorkommenden Begriffe richtig definiert wurden.

Es hat erhebliche Konsequenzen

Ich habe das Gefühl, dass Noethers Theorem definitiv von der gleichen Art ist, die hier erwähnt wird, und ich habe tatsächlich gesehen, dass es in bestimmten Formulierungen als "trivial" bezeichnet wird. Zum Beispiel macht Baez in seinem Artikel Getting to the bottom of Noether's theorem Bemerkungen wie

"Noethers Theorem auf eine Trivialität reduziert zu haben, indem man nur mit Generatoren gearbeitet hat ..."

"Was ist jedoch die Bedeutung der Antisymmetrie der Klammer? Bisher haben wir sie einfach in der Definition der Poisson-Algebra postuliert und damit im Wesentlichen den Satz von Noether von Anfang an eingebaut."

Siehe auch Hudgins Den Satz von Noether mit symplektischer Geometrie verstehen

Dieser Aufsatz wird zeigen, dass der Satz von Noether, wie alle großen Sätze, trivial zu formulieren und zu beweisen ist, sobald die richtige mathematische Theorie entwickelt ist, die in diesem Fall die Theorie der symplektischen Mannigfaltigkeiten sein wird

Für mich hat dies alle Merkmale von Spivaks Sicht auf den Satz von Stokes. Jeder, der die ganze Maschinerie, die zum Beweis des Noether-Theorems verwendet wird, gut versteht, mag durchaus sagen, dass es trivial erscheint, und das liegt genau daran, dass sie den Vorteil der richtigen Maschinerie haben.

Die Lügenalgebra, in der Noether ein Experte war, enthält sicherlich alle Keime für die Einsichten, die zum Beweis des Satzes erforderlich sind, aber ich denke, dass die symplektische Geometrie auf Mannigfaltigkeiten, obwohl sie vorhanden war, zu dieser Zeit nicht bekannt war. Aber nach den 1960er Jahren ist die symplektische Geometrie ziemlich bekannt. Seitdem massieren Mathematiker die Aussage und Definitionen seit Jahren, um ihr Erklärungspotential zu maximieren, einschließlich der Energieerhaltung (über die triviale Gleichung $\{H, H\}=0$ .) So verfallen wir leicht dem „Fluch des Wissens“ und fragen uns, wie sich frühere Leser über etwas aufregen konnten, das uns trivial erscheint.

In Anbetracht all dessen denke ich, dass die meisten Menschen zustimmen werden, dass Noethers Theorem ein nichttriviales Ergebnis in dem Sinne ist, dass die zugrunde liegenden Ideen in einem nützlichen und nicht ganz offensichtlichen Theorem verknüpft sind, auch wenn sein Beweis mit modernen Konzepten sehr prägnant geschrieben werden kann. Ich glaube nicht, dass sich irgendjemand irgendwelche Illusionen über seine Schwierigkeit macht.

Benutzer1379857 · Answer 6

Es gibt zwei Hauptwege, um die klassische Mechanik zu formulieren: mit einem Lagrange-Operator oder mit einem Hamilton-Operator. In Ihrer Frage haben Sie im Wesentlichen eine Definition der klassischen Mechanik gegeben, die stark an die Hamiltonsche Mechanik erinnert (ohne die symplektische Form zu definieren, aber darauf gehen wir nicht ein).

Die Sache ist die, dass Zeittranslationssymmetrie in der Hamiltonschen Mechanik tatsächlich irgendwie trivial ist, Sie haben Recht. Genauer gesagt wird die Zeitumsetzung durch das Vektorfeld erzeugt $X_H$ auf Phasenraum, wo $H$ ist Ihre Energiefunktion, definiert durch

X_{H} (F) \equiv {F, H} .

$X_H(f) \equiv \{f, H\}.$ Durch die triviale Gleichung

\frac{d}{d t} H = {H, H} = 0

$\frac{d}{dt} H = \{H,H\} = 0$ , können wir sehen, dass diese Energie tatsächlich erhalten bleibt.

In der Hamiltonschen Mechanik ist die Zeittranslationssymmetrie also tatsächlich "in den Kuchen gebacken", und Sie haben in der Tat Recht.

In der Lagrange-Formulierung ist es jedoch nicht annähernd so einfach. Wenn Sie eine vollständig allgemeine Lagrange-Funktion haben, $L(q_i, p_i, t)$ , das hängt explizit von der Zeit ab $t$ , dann bleibt die Energie nicht erhalten. Nur wenn der Lagrange zeitunabhängig ist, $L = L(q_i,p_i)$ , bleibt Energie erhalten.

Tatsächlich war die Art und Weise, wie Emmy Noether ihren ursprünglichen Satz formulierte, im Lagangschen Rahmen.

Tatsächlich können Sie im Hamilton-Rahmen auch zeitabhängige Hamilton-Operatoren haben, $H(t)$ . In diesen Fällen wird ebenfalls keine Energie gespart.

Mehr dazu finden Sie in meinem "Manifest: Was ist eigentlich eine Symmetrie?" in dieser Antwort hier:

https://physics.stackexchange.com/a/461762/157704

Inwiefern ist die Energieerhaltung und der Satz von Noether eine nicht triviale Aussage?

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rschwieb

Benutzer1379857

Satz von Noether: Form der infinitesimalen Transformation

Welche Bedeutung hat der Satz von Noether in der Physik?

Warum werden Symmetrien im Phasenraum durch Funktionen erzeugt, die die Hamilton-Invariante verlassen?

Der Satz von Emmy Noether in einfacheren Worten

Noethers Theorem für Raumtranslationssymmetrie

Was bedeutet es, dass ein System unter Rotation invariant ist?

Warum ist der Satz von Noether wichtig?

Satz von Noether: Es gibt Erhaltungsgrößen, die Symmetrien von Ort, Orientierung und Zeit entsprechen, aber warum nicht Geschwindigkeit?

Ist es schlampig zu sagen, dass die Isotropie des Raums zur Erhaltung des Drehimpulses führt?

Laienversion von Noethers Theorem (oder die Intuition dahinter)