Satz von Noether: Es gibt Erhaltungsgrößen, die Symmetrien von Ort, Orientierung und Zeit entsprechen, aber warum nicht Geschwindigkeit?

Der Satz von Noether scheint eines der grundlegendsten und schönsten Ergebnisse in der gesamten Physik zu sein. So wie ich es verstehe, führt die Tatsache, dass die Gesetze der Physik unabhängig von Position, Orientierung und Zeit gleich sind, zur Erhaltung von Impuls, Drehimpuls bzw. Energie.

Aber die Gesetze der Physik sind auch unabhängig von der Geschwindigkeit. Warum führt dies nicht zu einer anderen Erhaltungsgröße? Oder ist es nur Newtons drittes Gesetz (Kräfte in einem geschlossenen System müssen sich zu Null addieren)?

Vielleicht möchten Sie dies relativistischer betrachten. Die Homogenität der Raumzeit führt dazu, dass der Energie-Impuls in der Feldtheorie erhalten bleibt. Die Isotropie führt zu einer allgemeinen relativistischen Version des Drehimpulses. Das ist es. Die Poincaré-Gruppe ist die allgemeinste, die es gibt (susy ist im Moment etwas unterlegen). Das soll nicht heißen, dass andere Systeme andere Invarianzen aufweisen und dann eine Erhaltungsgröße haben könnten, die jedoch in Allgemeinheit und Umfang begrenzt ist.
@ Nelson Vanegas A. Ich interpretiere "Homogenität der Raumzeit" so, dass sie an jedem Ort und zu jeder Zeit gleich ist. Ich würde nicht unbedingt die Geschwindigkeit einbeziehen. Ist das falsch gedacht?
@Qmechanic Ich bin Ihrem Link gefolgt, der genau dieselbe Frage zu sein scheint. Die Antwort scheint nur eine Aussage darüber zu sein, wo sich der Schwerpunkt zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet. Aber in welchem ​​Sinne ist das eine Erhaltungsgröße, wenn sie nicht für andere Zeitpunkte gilt?

Antworten (2)

Das Problem hier ist, dass die Aussage, dass die physikalischen Gesetze unabhängig von der Geschwindigkeit sind, missverstanden wurde oder nicht präzise genug ist. Noethers Theorem bezieht sich explizit auf Theorien, die durch einen Lagrangian beschrieben werden. Ein Lagrange in seinen nackten Knochen sollte eine Art kinetischen Begriff enthalten. Ohne in eine relativistische Umgebung zu gehen, können Sie sich ein freies Teilchen in der klassischen Mechanik vorstellen, für das

L F R e e = 1 2 M ( D X D T ) 2 = 1 2 M v 2
Sie können leicht versuchen, die Geschwindigkeit zu verschieben v → v + Δ v , und Sie werden sehen, dass sich der Lagrange-Operator tatsächlich um einen Betrag ändert, der proportional zur Beschleunigung sein sollte, daher ist ein durch einen solchen Lagrange-Operator beschriebenes System im Allgemeinen nicht invariant unter infinitesimalen Geschwindigkeitsänderungen . Da dieser Begriff (oder ähnlich) in den meisten Lagrange-Funktionalitäten physikalischer Systeme vorkommt, entsprechen Geschwindigkeitsänderungen nicht Symmetrien.

Dies bedeutet jedoch nicht, dass man keinen Lagrangian bauen kann, der unter solchen Änderungen tatsächlich symmetrisch ist. Wie in den Kommentaren und anderen Antworten erwähnt wurde, zeigt ein relativistischer Lagrange, wenn Sie Geschwindigkeitsverschiebungen als "Boosts" interpretieren, eine solche Symmetrie, obwohl es oft sinnvoller ist, sie als imaginäre Rotation zu betrachten, anstatt eine Geschwindigkeitsverschiebung (wenn es linear verstanden wird), oder anders gesagt, man verändert Zeit und Raum auf eine ganz bestimmte Weise, siehe Lorentz-Transformationen.

Ich würde vorschlagen, zu versuchen, der üblichen Ableitung von konservierten Strömen zu folgen, um zu sehen, dass die Lagrangianer im Allgemeinen keine "Geschwindigkeits" -Symmetrie aufweisen, zumindest nicht im Noether-Sinn von Symmetrien. Ich empfehle auch, die mit der obigen Lagrange-Funktion verbundene Aktion mit dem Hinzufügen einer Quadratwurzel zu betrachten, wodurch die Aktion "geschwindigkeitsinvariant" wird, da sie nur von den Endpunkten abhängt. Dies veranschaulicht deutlich, dass die kinetische Energie rahmenabhängig ist (in der klassischen Mechanik), die tatsächliche Bogenlänge der Flugbahn jedoch nicht.

Diese Antwort ist hilfreich. Haben Sie einen Kommentar zu "Kräfte in einem geschlossenen System müssen sich zu Null addieren" als Darstellung einer Erhaltungsgröße?
Wenn keine äußeren Kräfte vorhanden sind, ist die unmittelbare Folge, dass sich innere Kräfte zu Null addieren, aber darüber hinaus keine äußeren Quellen, bedeutet Impulserhaltung. Es wird also wieder Invarianz unter Übersetzungen umformuliert.

Es gibt Erhaltungsgrößen im Zusammenhang mit Lorentz-Boosts. Diese sind im Drehimpulstensor enthalten, der erhalten bleibt, wenn die Lagrange-Funktion unter Lorentz-Transformationen invariant ist.

@my2cents Ich interpretiere Lorentz-Boosts so, dass sie eher mit Geschwindigkeit als mit Drehimpuls zu tun haben. Gibt es vielleicht eine intuitivere Erklärung?
@RogerWood Die allgemeine Lorentz-Transformation umfasst Rotationen und Boosts. Es besteht eine Verbindung zwischen einem Boost und einer Rotation im Minkowski-Raum. Siehe zB physical.stackexchange.com/questions/544002/… .
danke, jetzt habe ich es verstanden.
Satz von Noether: Es gibt Erhaltungsgrößen, die Symmetrien von Ort, Orientierung und Zeit entsprechen, aber warum nicht Geschwindigkeit?
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