Der Satz von Emmy Noether in einfacheren Worten

Zwei Noether-Theoreme, arXive:physics/9807044 Grob gesagt muss es bei einer gegebenen kontinuierlichen (oder ungefähr kontinuierlichen - Taylor-Reihen) Symmetrie einen zugehörigen konservierten Strom (Eigenschaft) geben. Bei einer erhaltenen Eigenschaft muss eine Symmetrie vorliegen.

Homogene Zeit - konservierte Masse-Energie;
Homogener Raum - konservierter linearer Impuls;
Isotroper Raum - konservierter Drehimpuls;
Beachten Sie, dass die Parität absolut diskontinuierlich ist und daher außerhalb von Noethers Reichweite liegt.
$U(1)$Eichtransformation - elektrische Ladung;
$U(1)$Eichtransformation - Lepton-Generationsnummer;
$U(1)$Messgerättransformation - Hyperladung;
$U(1)_Y$Messgerättransformation - schwache Hyperladung;
$U(2)$[nicht$U(1)\times SU(2)$] - elektroschwache Kraft;
$SU(2)$Eichtransformation - Isospin;
$SU(2)_L$Eichtransformation - schwacher Isospin;
$P\times SU(2)$- G-Parität;
$SU(3)$"Wicklungsnummer" - Baryonennummer;
$SU(3)$Eichtransformation - Quarkfarbe;
$SU(3)$(ungefähr) - Quarkgeschmack;
$SU(2)\times SU(3)$ $\left[U(1)\times SU(2)\times SU(3)\right]$- Standardmodell.

Eine Erhaltungsgröße ergibt sich aus jeder Symmetrie, die mit der Zeit pendelt, und umgekehrt. Ein divergenzfreier Strom (erhaltene Eigenschaft) entsteht, wenn die Lagrange-Funktion oder die Wirkung bei stetiger Transformation invariant ist. Jeder stetigen Symmetrie einer Wirkung entspricht aufgrund der Euler-Lagrange-Gleichungen der Lagrange-Funktion eine Erhaltungsgröße und umgekehrt. Jeder Eichsymmetrie einer Aktion entspricht eine Identität unter den Euler-Lagrange-Gleichungen der Lagrange-Funktion und umgekehrt.

Ein physikalisches System mit einer Lagrange-Invariante in Bezug auf die Symmetrietransformationen einer Lie-Gruppe hat im Fall einer Gruppe mit einer endlichen (oder abzählbar unendlichen) Anzahl unabhängiger infinitesimaler Erzeuger ein Erhaltungsgesetz für jeden solchen Erzeuger und bestimmte " Abhängigkeiten" im Fall einer größeren unendlichen Anzahl von Generatoren (Allgemeine Relativitätstheorie und die Bianchi-Identitäten). Das Gegenteil ist wahr.

Eine Symmetrie kann explizit gebrochen werden – ein Term in der Aktion oder in Bewegungsgleichungen darf nicht invariant sein. Eine Symmetrie kann anomal gebrochen werden – nicht alle klassischen Theoriesymmetrien existieren in der entsprechenden Quantentheorie. Die Anomalie der Quantenfeldtheorie verdirbt die Renormierbarkeit. Das Fehlen von Anomalien im Standardmodell ist entscheidend. Eine Symmetrie kann spontan gebrochen werden, wenn es sich um eine exakte Symmetrie der Bewegungsgleichungen handelt, aber nicht um eine bestimmte Lösung darin. Der Satz von Noether gilt, wenn die Symmetrie nicht explizit gebrochen wird. Erhaltungen können in Subsystemen gelockert werden, die eine reduzierte Symmetrie aufweisen (Born-Streuungsnäherung, Fermis goldene Regel, Snells Gesetz).

Die Allgemeine Relativitätstheorie kennt keine Newtonschen Erhaltungssätze.

Erstens besagt der Satz, dass für jedes System, das durch Minimierung der Wirkung beschrieben werden kann, dann, wenn die Wirkung eine Symmetrie hat, eine Erhaltungsgröße im System vorhanden sein muss. Sie besagt nicht, dass für jede Erhaltungsgröße eine Symmetrie bestehen muss.

Es gibt keine Symmetrie für die Erhaltung der Masse (was eine Annahme war). Später zeigte Einstein, dass Masse und Energie zusammenhängen. Und die Invarianz der Masse fällt aus der Invarianz von 4-Vektor-Punktprodukten, die nichts mit Noethers Theorem zu tun hat.

Es wurde gezeigt, dass Energie erhalten bleibt, da es eine Zeit-Translations-Symmetrie in der Aktion gibt. Die Ladungs- und Stromerhaltung kommt von der Eichsymmetrie in den elektromagnetischen Potentialen.