Wie genau sind Lorentz-Transformationen Drehungen?

Question

Wie genau sind Lorentz-Transformationen Drehungen?

Ryder unhöflich

Ich habe immer und überall gesehen, dass Lorentz-Transformationen Rotationen in 4D sind. Bleiben wir der Einfachheit halber bei 2D (eine Raumachse, eine Zeitachse).

Drehungen zweidimensionaler Raumachsen sehen völlig anders aus als die 2D-Lorentz-Transformation. Um Raumachsen zu drehen, drehen wir sowohl die x- als auch die y-Achse um einen Winkel gleicher Größe mit gleichem Vorzeichen. Dies führt dazu, dass die Achsen nach der Drehung immer noch auf 90 Grad stehen.

Lorentz-Transformationen in 2D sehen jedoch so aus, als würden sowohl die Raum- als auch die Zeitachse um einen Winkel gleicher Größe, aber mit entgegengesetzten Vorzeichen gedreht. Die Achsen bleiben nach Lorentz-Transformationen nicht bei 90 Grad, sondern bilden eine V-Form. Wie ist das eine Drehung? Verwenden wir eine verallgemeinerte Definition der Rotation? Warum drehen Sie nicht einfach sowohl die Raum- als auch die Zeitachse in die gleiche Richtung (so dass sie bei 90 Grad bleiben), wie wir es mit zwei Raumachsen tun? (Ich habe gelesen, dass wir die Zeitachse nicht wie eine gewöhnliche Raumachse behandeln, weil wir uns in der Zeit nicht rückwärts bewegen können. Wenn dieser Grund richtig ist, dann erläutern Sie dies bitte. Wie funktioniert das Drehen beider x und t Achsen in die gleiche Richtung bedeuten, dass wir in der Zeit rückwärts gehen?)

EDIT- https://www.mathpages.com/rr/s1-07/1-07.htm Ich komme von diesem Text. Gegen Ende des ersten Absatzes heißt es, dass der Grund, warum wir uns für die Rotation mit dem „entgegengesetzten Vorzeichen“ entschieden haben, darin besteht, dass wir nicht in der Zeit zurückgehen können.

David z

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Frobenius

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Wie genau sind Lorentz-Transformationen Drehungen?

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WillO · Answer 1

Der relevante verallgemeinerte Begriff von "Rotation" ist, dass eine Rotation eine Transformation ist, die einen Punkt fixiert und alle Entfernungen beibehält. Im euklidischen Raum bedeutet dies, dass Sie zwei Punkte haben, deren x-Koordinaten sich um unterscheiden $\Delta x$ und y-Koordinaten unterscheiden sich durch $\Delta y$ , dann der Wert von $\Delta x^2+\Delta y^2$ bleibt von einer Drehung unberührt. Im Minkowski-Raum bedeutet es das $\Delta x^2-\Delta t^2$ ist unbeeinflusst.

Was motiviert uns, das Minuszeichen in der letzteren Formel zu verwenden (abgesehen von der Beobachtung konstanter Lichtgeschwindigkeit)? Bedeutet es, dass wir, wenn wir es positiv halten, in der Zeit zurückgehen können?
Was das Minuszeichen motiviert, ist, dass wir wollen, dass Rotationen die Lichtgeschwindigkeit konstant halten, wie Sie vermutet haben.
Es gibt auch eine andere Motivation. mathpages.com/rr/s1-07/1-07.htm Dieser Text sagt die spezielle Relativitätstheorie nur unter Verwendung reiner Mathematik voraus (ohne sich darauf zu verlassen, dass sich irgendetwas mit maximaler Geschwindigkeit bewegt). Verwenden Sie auf dieser Seite "In Seite suchen: Zeitlich zurück".
@WillO Schöne und auf den Punkt gebrachte Antwort, aber ich denke, es könnte von Vorteil sein, ein bisschen mehr zu betonen, dass die Definition von "Entfernung" in diesem Zusammenhang von einer Rotationsart zur anderen variieren kann und dass dies für die Lorentz-Transformation der Fall ist eine deutlich andere Vorstellung von "Distanz", als wir sie aus dem Alltag gewohnt sind.

Gary Godfrey · Answer 2

Ein Lorentz-Boost ist keine Drehung um einen echten Winkel. Stattdessen. es ist eine Belastung um einen echten Winkel. Die Transformation der x,t-Achse, bei der sich beide um einen kleinen Winkel im Bogenmaß nach innen bewegen $d\lambda$ (als Lorentz-Boost-Parameter bezeichnet) ist Maschinenbauingenieuren in der x,y-Ebene gut bekannt. Der Ingenieur verzerrt ein Quadrat in der XY-Ebene so, dass sich beide Kanten des Quadrats um einen kleinen Winkel im Bogenmaß nach innen bewegen $d\epsilon$ (als Stamm bezeichnet). Aus dem Quadrat wird ein Parallelepiped. Die Matrizen, die diese Transformationen für nicht unendlich kleine Winkel durchführen, sind:

[\begin{matrix} C Ö S H (λ) & S ich N H (λ) \\ S ich N H (λ) & C Ö S H (λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ C T \end{matrix}] A N D [\begin{matrix} C Ö S H (ϵ) & S ich N H (ϵ) \\ S ich N H (ϵ) & C Ö S H (ϵ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ j \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} cosh(\lambda) & sinh(\lambda)\\ sinh(\lambda) & cosh(\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ct\\ \end{bmatrix} \quad and \quad \begin{bmatrix} cosh(\epsilon) & sinh(\epsilon)\\ sinh(\epsilon) & cosh(\epsilon)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix}$ Der Grund, warum Sie gehört haben, dass Boosts irgendwie Rotationen sind, ist, dass alte Physiker Boosts wie vertraute Rotationen aussehen ließen, indem sie imaginäre Winkel verwendeten und t imaginär machten.

[\begin{matrix} X^{'} \\ ich C T^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C Ö S (ich λ) & - S ich N (ich λ) \\ S ich N (ich λ) & C Ö S (ich λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ ich C T \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x'\\ ict'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(i\lambda) & -sin(i\lambda)\\ sin(i\lambda) & cos(i\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ict\\ \end{bmatrix}$

[\begin{matrix} X^{'} \\ ich C T^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C Ö S H (λ) & - ich S ich N H (λ) \\ ich S ich N H (λ) & C Ö S H (λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ ich C T \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x'\\ ict'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosh(\lambda) & -i\ sinh(\lambda)\\ i\ sinh(\lambda) & cosh(\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ict\\ \end{bmatrix}$

[\begin{matrix} X^{'} \\ C T^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C Ö S H (λ) & S ich N H (λ) \\ S ich N H (λ) & C Ö S H (λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ C T \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x'\\ ct'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosh(\lambda) & sinh(\lambda)\\ sinh(\lambda) & cosh(\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ct\\ \end{bmatrix}$ Raum-Raum-Parallelepiped-Stämme verlassen

x^{2} - y^{2}

$x^2-y^2$ unveränderlich. Raumzeitliche Parallelepiped-Stämme verlassen

x^{2} - (c t)^{2}

$x^2-(ct)^2$ unveränderlich. Drehungen verlassen

x^{2} + (i c t)^{2}

$x^2+(ict)^2$ unveränderlich. Bitte lesen Sie meine Antwort auf diese Frage , wenn Sie mehr Mathematik möchten.

Ich denke nicht, dass "der Grund, warum wir die Zeitachse nicht wie eine gewöhnliche Raumachse behandeln, darin besteht, dass wir uns nicht in der Zeit rückwärts bewegen können" ein gutes Argument ist. Wie auch immer, wenn $ct>x$ einen Schub kann man nicht machen $ct'<x'$ Weil $x^2-(ct)^2$ ist unveränderlich. Wenn also ein Ereignis im Vorwärtslichtkegel kausal ist, dann ist es auch in allen verstärkten Frames im Vorwärtslichtkegel kausal. Eine reale Rotation von x und real ct könnte sich drehen $ct>x$ hinein $ct'<x'$ und Kausalität vermasseln.

მამუკა ჯიბლაძე · Answer 3

Wikipedia hat einige nette Animationen, die zeigen, dass Lorentz-Transformationen tatsächlich eine Art Rotation sind, zB diese

oder dies

Man könnte sagen, dass sie ihr Bestes tun, um wie eine Rotation auszusehen, unter der Bedingung, den Lichtkegel nicht zu überqueren

Wie genau sind Lorentz-Transformationen Drehungen?

Ryder unhöflich

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Frobenius

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WillO

Ryder unhöflich

WillO

Ryder unhöflich

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Gary Godfrey

მამუკა ჯიბლაძე

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