Über die Abhängigkeit der Zeit bei der Transformation zwischen Referenzrahmen in der Speziellen Relativitätstheorie

Angenommen, wir haben ein Referenzsystem S mit (Position, Zeit) Variable as ( X , T ) und in einem anderen Rahmen S ' Wir haben einen anderen Satz von Koordinaten ( X ' , T ' ) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von v gegenüber S dann ist die Lorentz-Transformation die Karte, die die ersten Koordinaten umwandelt:

X ' = X ( X , T , v )

Nun nimmt die Form der Gleichung an:

X ' = A ( v ) X + B ( v ) T

Also eine Geschwindigkeitsfunktion multipliziert mit der alten x-Koordinate plus eine andere Geschwindigkeitsfunktion multipliziert mit der alten Zeitkoordinate. Ich habe einen Weg gefunden zu zeigen, dass es unbedingt so sein muss X ' Es ist eine gerade Linie in Bezug auf X aber wie zeige ich, dass es bzgl. sein sollte T sowie? dh: Manifestation dessen, was für eine physikalische Eigenschaft das ist X ' ist eine Linie in Bezug auf T für fest X Und v ?

Beweise es X ' ist eine lineare Funktion von X : Angenommen im Rahmen mit Variablen ( X , T ) Wir haben einen Stab mit Endpunkten X 1 Und X 2 , dann ergibt sich die Stablänge zu:

X 2 − X 1 = Δ X

Nehmen wir nun an, ich verschiebe die Stange X 2 → X 2 + H Und X 1 → X 1 + H , dann bleibt die Länge erhalten.

Im anderen Rahmen wird die Länge wie folgt angegeben:

X 2 ' − X 1 ' = Δ X '

X ( X 2 , T ) − X ( X 1 , T ) = Δ X '

Jetzt ist die Länge gleich, wenn wir die Koordinaten der verschobenen Stäbe transformieren:

X ( X 2 , T ) − X ( X 1 , T ) = X ( X 2 + H , T ) − X ( X 1 + H , T )

Umstellen, dividieren durch H und nehmen Sie die Grenze:

∂ X ∂ X | X 1 = ∂ X ∂ X | X 2

Dies kann für alle Punkte argumentiert werden X 1 , daher muss die Steigung konstant sein und die X muss eine gerade Linie mit sein X .

Wie zeige ich nun ein ähnliches Argument für die Zeit?

Sie sagen, dass es eine Geschwindigkeit gibt v in einem Bezugssystem und einem anderen v ' in einem anderen Bezugssystem. Wie ist die Beziehung zwischen den beiden Rahmen? Normalerweise hat SR ( X , T ) In S Und ( X ' , T ' ) In S ' und es gibt eine konstante Relativgeschwindigkeit dazwischen S Und S ' . Ich denke auch, dass es ohne Annahmen darüber, was Ihre Transformation bewahren soll, keine Hoffnung gibt, Ableitungen vorzunehmen. In SR bewahrt die Lorentz-Transformation die Lorentz-Metrik.
Hallo, die Annahme, die ich hier verwendet habe, um zu beweisen, dass es sich um eine Linie in Bezug auf x handelt, ist, dass die Länge der Stange, die an jeder Stelle im alten Rahmen gemessen wird, gleich ist. Ich möchte herausfinden, was die physikalische Annahme für die wäre T
Ich verstehe. Sie versuchen zu zeigen, dass die Transformation linear sein muss, wenn es eine gewisse Homogenität in Raum und Zeit gibt. Platz sieht ok aus. Die Zeit sollte nicht anders sein. Wenn Sie ein Zeitintervall messen Δ T In S Es spielt keine Rolle, wie spät Ihre Uhr zeigt T 1 . Gleich für S ' . Mit anderen Worten: Zeitdifferenzen sind in jedem Lorentz-Frame zeithomogen.
Dies hätte als Antwort @KurtG geschrieben werden sollen. xD
Wahrscheinlich. Inzwischen sehe ich hier schon nette Antworten. Haben Sie sich Gedanken über die Frage gemacht, welche Bedingungen neben der Linearität auch die Form der Lorentz-Transformationen, wie wir sie kennen, implizieren?
Ich denke, Daves Antwort hat es ziemlich direkt getroffen @Kurt G.

Antworten (2)

Wie zeige ich nun ein ähnliches Argument für die Zeit?

Es ist eigentlich einfacher, beides zusammen zu argumentieren. Wir versuchen, die Form einer Transformation zwischen Inertialrahmen zu finden. Ein Inertialsystem ist eines, in dem Newtons 1. Gesetz gilt: Ein isoliertes Objekt bewegt sich in einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit. Ein solcher Weg ist eine gerade Linie in der Raumzeit. Daher suchen wir nach Raumzeittransformationen, die Geraden auf Geraden abbilden.

Solche Transformationen werden als affine Transformationen bezeichnet. Eine affine Transformation kann geschrieben werden als X ' = A   X + B . Der B ist nur eine Übersetzung des Ursprungs, die wir jetzt verschieben und später hinzufügen können. Also konzentrieren wir uns auf A   X Dies ist eine lineare Transformation und hat die oben gewünschte Form für Raum und Zeit

Sie können einfach den Ursprung der gewählten Koordinatenachsen entlang der Zeitachse verschieben. Wenn Sie den Ursprung verschieben, ändern sich die Zeitkoordinaten aller Ereignisse ein wenig.

Bedenken Sie nun, dass die Wahl des Ursprungs willkürlich ist. Indem Sie den Ursprung ändern, haben Sie lediglich die Zeitbeschriftungen geändert, die Sie den Ereignissen zuweisen. Die Physik kümmert sich nicht um die Bezeichnung, die Sie den Ereignissen geben. Die Etiketten dienen nur Ihrer Buchhaltung. Mit dieser Argumentation können Sie schließen, dass diese Ursprungsverschiebung keinen Einfluss auf das Zeitintervall zwischen zwei beliebigen Ereignissen nach der Lorentz-Transformation hat.

Anders ausgedrückt: Sie und Ihr Freund stehen mit Stoppuhren in der Hand am selben Ort (keine relative Bewegung zwischen Ihnen beiden). Sie wollen beide das Intervall zwischen zwei Ereignissen messen A Und B . Angenommen, Ihre Stoppuhr misst das Ereignis A ' S Auftreten bei T = 1 S Und B bei T = 2 S Die Uhr Ihres Freundes wird angezeigt A bei T = 1 + H Und B bei T = 2 + H . Der einzige Unterschied besteht eindeutig darin, dass Ihr Freund seine Stoppuhr gestartet hat H Sekunden früher als Sie.

Wenn Sie beide unabhängig voneinander das Zeitintervall zwischen den beiden Ereignissen berechnen, wie sie von einem Beobachter beobachtet werden, der sich relativ zu Ihnen bewegt, sollten Sie beide eindeutig zu derselben Antwort kommen. Sie gehören beide zum gleichen Inertialsystem. Die Tatsache, dass Ihr Freund seine Stoppuhr früher gestartet hat, um Zeitmessungen vorzunehmen, sollte keinen Einfluss auf seine Berechnung haben.

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