Lorentz-Transformationen mit zwei Raumdimensionen

Question

Lorentz-Transformationen mit zwei Raumdimensionen

PFUND

Ich bin ein Gymnasiast, der versucht, die Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie zu verstehen, und ich habe etwas über die Lorentz-Transformationen gelernt. Ich verstehe, dass man mit den folgenden Gleichungen zwischen den Referenzrahmen zweier Beobachter transformiert:

X^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} (X - v T)

$x'=\frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(x-vt)$

T^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} (T - \frac{v X}{C^{2}})

$t'=\frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$ Vorausgesetzt, dass:

j^{'} = j

$y'=y$

z^{'} = z

$z'=z$ Aber was wenn

y^{'}

$y'$ ist nicht gleich

y

$y$ , und der gestrichene Beobachter bewegt sich relativ zum ungestrichenen Beobachter in beiden

x

$x$ - Und

y

$y$ - Wegbeschreibung (aber immer noch nicht die

z

$z$ -Richtung)? Ich konnte online keine Antworten finden, also habe ich versucht, neue Gleichungen zu finden, um dies zu beschreiben. Ich habe gelesen, dass Bewegung keine Längenkontraktion in der Richtung senkrecht zur Bewegung verursacht, also nahm ich an, vielleicht fälschlicherweise, dass die

x

$x$ Und

y

$y$ Koordinaten würden sich unabhängig voneinander gemäß ihren eigenen getrennten Geschwindigkeiten transformieren. Bewegten sich beispielsweise zwei Beobachter relativ zueinander in der

x

$x$ Richtung mit Geschwindigkeit

v_{x}

$v_x$ , und sie bewegten sich relativ zueinander in der

y

$y$ Richtung mit Geschwindigkeit

v_{y}

$v_y$ , dann würde man die folgenden Gleichungen verwenden:

X^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{X}^{2}}{C^{2}}}} (X - v_{X} T)

$x'=\frac {1}{\sqrt{1-\frac{v_x^2}{c^2}}}(x-v_xt)$

j^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{j}^{2}}{C^{2}}}} (j - v_{j} T)

$y'=\frac {1}{\sqrt{1-\frac{v_y^2}{c^2}}}(y-v_yt)$ Ich dachte jedoch, dass die Zeitdilatation immer noch von der Gesamtgeschwindigkeit abhängen würde. Ich habe die Gesamtrelativgeschwindigkeit berechnet

v_{t o t a l}

$v_{total}$ wäre:

v_{T Ö T A l} = \sqrt{v_{X}^{2} + v_{j}^{2}}

$v_{total}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ Darüber hinaus würde der Unterschied in der beobachteten Zeit von der Gesamtentfernung des Ereignisses abhängen (was meiner Meinung nach nur die Entfernung vom Ursprung in einem Diagramm ist). Die Gesamtstrecke

d

$d$ , laut dem unprimed Beobachter, wäre:

D = \sqrt{X^{2} + j^{2}}

$d=\sqrt{x^2+y^2}$ Daher zu berechnen

t^{'}

$t'$ , würde man die Gleichung verwenden:

T^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{T Ö T A l}^{2}}{C^{2}}}} (T - \frac{v_{T Ö T A l} D}{C^{2}})

$t'=\frac {1}{\sqrt{1-\frac{v_{total}^2}{c^2}}}\left(t-\frac{v_{total}d}{c^2}\right)$ Als ich diese Gleichungen jedoch ausprobierte, funktionierten sie nicht. Zum Beispiel bei der Verwendung bei Ereignissen mit einem Raum-Zeit-Intervall von

0

$0$ , das Intervall blieb nicht

0

$0$ nach der Verwandlung. Wo habe ich einen Fehler gemacht, und was sind die wirklichen Gleichungen, die sich zwischen den Referenzrahmen transformieren, die sich in zwei räumlichen Dimensionen relativ zueinander bewegen? Wenn die Mathematik für einen Schüler im zweiten Jahr zu kompliziert ist, um sie zu verstehen, würde ich immer noch gerne eine konzeptionelle Erklärung dafür haben, was mein Ansatz verpasst hat. Ich hoffe, diese Frage ist sinnvoll.

Connor Behan

Haben Sie das gesehen, wenn eine Transformation auf wirkt

[t, x, y]

$[t, x, y]$ als Matrix (wie es Lorentz tut).

R M R^{- 1}

$R M R^{-1}$ stellt diese Transformation auf eine neue Basis? Sie wollen so etwas wie

R = [[1, 0, 0], [0, \cos θ, \sin θ], [0, - \sin θ, \cos θ]]

$R = [[1, 0, 0], [0, \cos \theta, \sin \theta], [0, -\sin \theta, \cos \theta]]$ Wo

θ

$\theta$ ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Richtung, in die sich das Ding tatsächlich bewegt.

PFUND

@ConnorBehan, danke, aber leider habe ich noch nichts über Matrizen gelernt, und ich denke, meine Trigonometrie ist ziemlich begrenzt. Könnten Sie mir möglicherweise auf konzeptionellere Weise sagen, was ich verpasst habe?

Summen

Es ist grundsätzlich nicht praktikabel, Lorentz-Transformationen in mehr als 1+1-Dimensionen durchzuführen, ohne Matrizen zu verwenden.

PFUND

@Buzz Danke. Vielleicht bin ich überflüssig, aber ich würde gerne eine kurze Erklärung dafür haben, warum die Mathematik mit der zusätzlichen Dimension komplizierter wird. Gibt es einen anderen Effekt der relativen Bewegung in der speziellen Relativitätstheorie, der die Dinge komplizierter macht? Habe ich vermutet, dass etwas nicht stimmt?

Summen

Wenn Sie nur an Velocity-Boosts entlang einer einzigen Richtung interessiert sind, können Sie diese Richtung auswählen, um Ihre zu definieren

x

$x$ -Achse. Sobald Sie jedoch beginnen, Lorentz-Boosts entlang verschiedener Geschwindigkeitsrichtungen oder Boosts in Kombination mit Rotationen zu kombinieren, wird die Sache komplizierter, da die Transformationen nicht pendeln, und die einzige natürliche Art, dies zu beschreiben, ist über Matrizen.

Tachyon209

@LB Ich denke, "warum die Mathematik mit zusätzlichen Dimensionen komplizierter wird" ist möglicherweise keine sinnvolle Frage. Wenn Sie versuchen, die Gleichungen des Lorentz-Boosts ohne Matrizen aufzuschreiben, ist dies immer noch sehr gut möglich. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es Ihnen nicht gefallen würde, mit diesen 4 Gleichungen herumzujonglieren und nach diesen 4 Variablen zu lösen. Da Lorentz-Transformationen von Natur aus lineare Transformationen sind, lässt sie sich am besten beschreiben, indem man eine mathematische Struktur verwendet, die den Umgang mit solchen Gleichungssystemen erleichtert, die, keine Überraschung, Matrizen sind!

Tachyon209

Tatsächlich können Sie sich den 1D-Fall als etwas vorstellen, das wie eine vereinfachte Version der Matrixgleichung aussieht , weil die anderen Gleichungen trivial sind und nicht umgekehrt, dass die Mathematik komplizierter wird. Die mathematische Struktur hatte immer Matrizen!

Antworten (3)

Lorentz-Transformationen mit zwei Raumdimensionen

Haben Sie das gesehen, wenn eine Transformation auf wirkt $[t, x, y]$ als Matrix (wie es Lorentz tut). $R M R^{-1}$ stellt diese Transformation auf eine neue Basis? Sie wollen so etwas wie $R = [[1, 0, 0], [0, \cos \theta, \sin \theta], [0, -\sin \theta, \cos \theta]]$ Wo $\theta$ ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Richtung, in die sich das Ding tatsächlich bewegt.
@ConnorBehan, danke, aber leider habe ich noch nichts über Matrizen gelernt, und ich denke, meine Trigonometrie ist ziemlich begrenzt. Könnten Sie mir möglicherweise auf konzeptionellere Weise sagen, was ich verpasst habe?
Es ist grundsätzlich nicht praktikabel, Lorentz-Transformationen in mehr als 1+1-Dimensionen durchzuführen, ohne Matrizen zu verwenden.
@Buzz Danke. Vielleicht bin ich überflüssig, aber ich würde gerne eine kurze Erklärung dafür haben, warum die Mathematik mit der zusätzlichen Dimension komplizierter wird. Gibt es einen anderen Effekt der relativen Bewegung in der speziellen Relativitätstheorie, der die Dinge komplizierter macht? Habe ich vermutet, dass etwas nicht stimmt?
Wenn Sie nur an Velocity-Boosts entlang einer einzigen Richtung interessiert sind, können Sie diese Richtung auswählen, um Ihre zu definieren $x$ -Achse. Sobald Sie jedoch beginnen, Lorentz-Boosts entlang verschiedener Geschwindigkeitsrichtungen oder Boosts in Kombination mit Rotationen zu kombinieren, wird die Sache komplizierter, da die Transformationen nicht pendeln, und die einzige natürliche Art, dies zu beschreiben, ist über Matrizen.
@LB Ich denke, "warum die Mathematik mit zusätzlichen Dimensionen komplizierter wird" ist möglicherweise keine sinnvolle Frage. Wenn Sie versuchen, die Gleichungen des Lorentz-Boosts ohne Matrizen aufzuschreiben, ist dies immer noch sehr gut möglich. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es Ihnen nicht gefallen würde, mit diesen 4 Gleichungen herumzujonglieren und nach diesen 4 Variablen zu lösen. Da Lorentz-Transformationen von Natur aus lineare Transformationen sind, lässt sie sich am besten beschreiben, indem man eine mathematische Struktur verwendet, die den Umgang mit solchen Gleichungssystemen erleichtert, die, keine Überraschung, Matrizen sind!
Tatsächlich können Sie sich den 1D-Fall als etwas vorstellen, das wie eine vereinfachte Version der Matrixgleichung aussieht , weil die anderen Gleichungen trivial sind und nicht umgekehrt, dass die Mathematik komplizierter wird. Die mathematische Struktur hatte immer Matrizen!

Chirale Anomalie · Answer 1

Da Sie versuchen zu verstehen, zeige ich Ihnen, wie Sie es herausfinden können, anstatt Ihnen nur die Antwort zu sagen. Sie müssen nicht wissen, was eine Matrix ist, und Sie brauchen keine Trigonometrie. Algebra ist ausreichend.

Um nicht aufklärende Ablenkungen zu vermeiden, verwende ich Einheiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit angegeben ist $c=1$ . Wenn Sie Faktoren von wiederherstellen möchten $c$ , ersetzen Sie einfach alle $t$ in den folgenden Gleichungen mit $ct$ . Eine Lorentz-Transformation um den Ursprung ist eine lineare Transformation, die die Größe verlässt

\begin{matrix} (1) & T^{2} - (X^{2} + j^{2} + z^{2}) \end{matrix}

$t^2-(x^2+y^2+z^2) \tag{1}$ unverändert. Ich zeige ein paar Beispiele und zeige, wie man sie kombiniert, um weitere Beispiele zu generieren – einschließlich des von Ihnen gewünschten.

Gewöhnliche Drehung

Ein Beispiel für eine Lorentz-Transformation ist eine gewöhnliche Drehung, die zwei räumliche Koordinaten mischt:

\begin{aligned} T & \to T \\ X & \to A X - B j \\ j & \to B X + A j \\ (2) & z & \to z \end{aligned}

$\begin{align} t &\to t\\ x &\to ax-by \\ y &\to bx+ay \\ z &\to z \tag{2} \end{align}$ mit

\begin{matrix} (3) & A^{2} + B^{2} = 1 \end{matrix}

$a^2+b^2=1 \tag{3}$ Gleichung (3) ist dasselbe wie zu sagen

a = \cos θ

$a=\cos\theta$ Und

b = \sin θ

$b=\sin\theta$ für einige

θ

$\theta$ , aber das müssen wir nicht wissen. Mit (3) können Sie bestätigen, dass die Ersetzung (2) (1) unverändert lässt:

\begin{matrix} (4) & T^{2} - ((A X - B j)^{2} + (B X + A j)^{2} + z^{2}) = T^{2} - (X^{2} + j^{2} + z^{2}) . \end{matrix}

$t^2-\big((ax-by)^2+(bx+ay)^2+z^2\big) = t^2-(x^2+y^2+z^2). \tag{4}$

Schub

Ein weiteres Beispiel für eine Lorentz-Transformation ist ein Boost, der eine räumliche Koordinate mit der Zeitkoordinate mischt:

\begin{aligned} T & \to A T + B X \\ X & \to B T + A X \\ j & \to j \\ (5) & z & \to z \end{aligned}

$\begin{align} t &\to At+Bx\\ x &\to Bt+Ax \\ y &\to y \\ z &\to z \tag{5} \end{align}$ mit

\begin{matrix} (6) & A^{2} - B^{2} = 1. \end{matrix}

$A^2-B^2=1. \tag{6}$ Gleichung (6) ist dasselbe wie zu sagen

A = \cosh θ

$A=\cosh\theta$ Und

B = \sinh θ

$B=\sinh\theta$ für einige

θ

$\theta$ , aber das müssen wir nicht wissen. Mit (6) können Sie bestätigen, dass die Ersetzung (5) (1) unverändert lässt:

\begin{matrix} (7) & (A T + B X)^{2} - ((B T + A X)^{2} + j^{2} + z^{2}) = T^{2} - (X^{2} + j^{2} + z^{2}) . \end{matrix}

$(At+Bx)^2-\big((Bt+Ax)^2+y^2+z^2\big) = t^2-(x^2+y^2+z^2). \tag{7}$

Komponieren von Lorentz-Transformationen

Hier ist der Schlüssel: Bei zwei beliebigen Transformationen, die beide (1) unverändert lassen, lässt ihre Zusammensetzung offensichtlich auch (1) unverändert. "Komposition" bedeutet nur, einen Austausch nach dem anderen vorzunehmen. Insbesondere ist das Durchführen des Ersetzens (5) gefolgt von dem Ersetzen (2) gleichbedeutend mit dem Durchführen des einzelnen Ersetzens

\begin{aligned} T & \to A T + B (A X - B j) \\ X & \to B T + A (A X - B j) \\ j & \to B X + A j \\ (8) & z & \to z . \end{aligned}

$\begin{align} t &\to At+B(ax-by)\\ x &\to Bt+A(ax-by) \\ y &\to bx+ay \\ z &\to z. \tag{8} \end{align}$ Noch besser, wir können zuerst (2) machen, dann (5) und dann (2) mit dem entgegengesetzten Vorzeichen für

b

$b$ . Das Ergebnis ist

\begin{aligned} T & \to A T + B (A X + B j) \\ X & \to A (B T + A (A X + B j)) - B (A j - B X) \\ j & \to B (B T + A (A X + B j)) + A (A j - B X) \\ (9) & z & \to z \end{aligned}

$\begin{align} t &\to At+B(ax+by)\\ x &\to a(Bt+A(ax+by))-b(ay-bx) \\ y &\to b(Bt+A(ax+by))+a(ay-bx) \\ z &\to z \tag{9} \end{align}$ Los geht's. Das ist ein Lorentz-Schub entlang einer willkürlichen Richtung in der

x

$x$ -

y

$y$ Ebene. Beachten Sie, dass zwei der ursprünglichen räumlichen Richtungen unverändert bleiben, nämlich

z

$z$ Und

a y - b x

$ay-bx$ , also qualifiziert es sich als Auftrieb in der

a x + b y

$ax+by$ Richtung.

Bezüglich $A,B$ zu Geschwindigkeit

Ich habe eine Notation verwendet, die hervorhebt, wie einfach die Konzepte sind. Um meine Mengen zu beziehen $A,B$ an die Geschwindigkeit des Boosts, verwenden $v=B/A$ . Im Fall (9) sind die Komponenten der Geschwindigkeit $v_x=Ba/A$ Und $v_y=Bb/A$ . Wenn Sie internationale Standardeinheiten verwenden möchten, multiplizieren Sie diese Geschwindigkeiten einfach mit $c$ .

Perspektive

Am Anfang dieser Antwort sagte ich, dass Sie nicht wissen müssen, was eine Matrix ist, und Sie brauchen keine Trigonometrie. Vielleicht hätte ich sagen sollen, dass Sie bereits alles wissen, was Sie über Matrizen und Trigonometrie wissen müssen! Die Idee, zwei lineare Transformationen zusammenzusetzen, um eine weitere lineare Transformation zu erhalten, ist das, worum es bei der Matrixalgebra geht. Der Übergang von (2) und (5) zu (8) ist ein Beispiel für eine Matrixmultiplikation, obwohl wir keine Matrixschreibweise verwendet haben. Gleichung (3) ist die Grundlage für gewöhnliche Trigonometrie, und Gleichung (6) ist die Grundlage für hyperbolische Trigonometrie.

In Bezug auf Lorentz-Boosts in beliebige Richtungen interessiert Sie vielleicht die verwandte Frage Lorentz-Boost-Matrix für eine beliebige Richtung in Bezug auf die Schnelligkeit , aber Sie wissen bereits alles, was Sie wissen müssen: Beginnen Sie mit dem Boost (5) und setzen Sie ihn zusammen mit was auch immer Rotation(en), mit der Sie die Geschwindigkeit in die gewünschte Richtung lenken möchten.

HTNW · Answer 2

Der allererste Schritt, bei dem Sie davon ausgehen, dass Sie die Transformation gleichzeitig in zwei Richtungen anwenden können, ist falsch. Wenn Sie zuerst transformiert von $(t,x,y,z)$ Zu $(t',x',y',z')$ , und wendete dann einen zweiten Boost mit dem neuen an $t'$ , dann wüssten Sie zumindest, dass Ihr Ergebnis physisch war, selbst wenn der Gesamtschub, den Sie erhalten, falsch ist. Aber Sie haben versucht, die beiden Boosts in einem Schritt zusammenzufassen, und es gibt keine Garantie dafür, dass das, was Sie bekommen, irgendeine physikalische Bedeutung hat. Selbst wenn Sie nun die beiden Boosts gemäß Ihrem Plan separat ausführen, landen Sie in einem Frame, der sich mit der falschen Geschwindigkeit bewegt, aber zumindest ist es ein gut definierter Frame, sodass wir sehen können, was schief gelaufen ist.

Überlegen Sie, was es bedeutet, auf eine Geschwindigkeit zu beschleunigen. Das bedeutet, dass ein Objekt, von dem Sie vorher dachten, dass es sich mit dieser Geschwindigkeit bewegt, jetzt in Ruhe zu sein scheint. Sprich du hast so einen "Schrittmacher" aufgebaut, damit es an der Stelle vorbeigeht $(t_0,x_0,y_0,z_0)=(0,0,0,0)$ in Ihren ursprünglichen Koordinaten und späteren Pässen $(t,x,y,z)=(1\,\mathrm{s},v_x\cdot1\,\mathrm{s},v_y\cdot1\,\mathrm{s},0).$ Nach Ihren zwei Boosts wollen Sie $(x'',y'',z'')=(0,0,0)$ (ist dir egal $t''$ ). Ok, also führe deinen ersten Boost in der aus $x$ Richtung mit Geschwindigkeit $v_x.$ Was siehst du jetzt? Ich bekomme, dass das Schrittmacherereignis jetzt bei auftritt $(t',x',y',z')=(\sqrt{1-\frac{v_x^2}{c^2}}\,\mathrm{s},0,v_y\cdot1\,\mathrm{s},0).$ Beachten Sie, dass der Bezugspunkt $(t_0,x_0,y_0,z_0)=(0,0,0,0)$ bleibt unveränderlich. Wenn Sie die verbleibende Geschwindigkeit des Objekts in der berechnen $y$ Richtung, das ist $\frac{y'}{t'},$ Sie sehen, es hat zugenommen. Das Problem mit Ihrem ursprünglichen Plan ist also, dass, sobald Sie den ersten Boost ausführen, die Zeitdilatation des Zwischenframes dazu führt, dass die Geschwindigkeit, die Sie an Ihren zweiten Boost anpassen müssen, zunimmt. Führen Sie den zweiten Boost mit der angepassten Geschwindigkeit durch und Sie werden sehen, wie das Objekt wie gewünscht zur Ruhe kommt.

Was haben wir also gelernt? Wenn Sie die Geschwindigkeit erhöhen möchten $(v_x,v_y,0),$ Sie können zuerst einen Boost in der anwenden $x$ Richtung von $v_x$ , und wenden Sie dann eine in der an $y$ Richtung mit der eingestellten Geschwindigkeit $\frac{v_y}{\sqrt{1-\frac{v_x^2}{c^2}}}$ . Das wird immer noch nicht ganz richtig sein, denn jetzt wird Ihr Rahmen die Wigner-Rotation erleiden : die $x''$ Und $y''$ Achsen sind unerwarteterweise nicht mehr parallel zum Original $x$ Und $y$ Achsen, die vermieden werden können, indem eine kompliziertere Ableitung für den Boost verwendet wird (wie in den Kommentaren angegeben), aber wenn Sie sich nicht darum kümmern, ist dies möglicherweise in Ordnung.

Versuchen Sie, dieses Schema auf alle drei Dimensionen auszudehnen.

Hier folgt eine etwas übertriebene Ableitung von Boosts in allgemeine Richtungen. Wenn das, was Sie über Ihre Fähigkeit sagen, wahr ist, werden Sie das jetzt nicht verstehen, aber betrachten Sie es einfach als eine Art Ziel.

Die Matrix

η = [\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\boldsymbol\eta=\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$ ist von grundlegender Bedeutung für die spezielle Relativitätstheorie. Betrachten Sie eine Vektorgröße

x = {[\begin{matrix} c t & x & y & z \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}ct&x&y&z\end{bmatrix}^T$ in einem Bezugsrahmen gemessen. Die Quantität

x^{T} η x = - c^{2} t^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2}

$\mathbf{x}^T\boldsymbol\eta\mathbf{x}=-c^2t^2+x^2+y^2+z^2$ bleibt in jedem Bezugssystem gleich, selbst wenn sich die Komponenten des Vektors ändern. Insbesondere ändern sich die Komponenten einer Vektorgröße unter einer Lorentz-Transformation als

x^{'} = Λ x,

$\mathbf{x}'=\mathbf{\Lambda x},$ Wo

Λ

$\mathbf{\Lambda}$ ist eine der Transformation zugeordnete Matrix. Dann müssen wir haben

x^{T} Λ^{T} η Λ x = x^{' T} η x^{'} = x^{T} η x,

$\mathbf{x}^T\mathbf{\Lambda}^T\boldsymbol\eta\mathbf{\Lambda x}=\mathbf{x}'^T\boldsymbol\eta\mathbf{x}'=\mathbf{x}^T\boldsymbol\eta\mathbf{x},$ und so stellen wir fest, dass Lorentz-Transformationen durch Matrizen dargestellt werden wo

Λ^{T} η Λ = η .

$\mathbf{\Lambda}^T\boldsymbol\eta\mathbf{\Lambda}=\boldsymbol\eta.$

Jetzt bringen wir die großen Geschütze ins Spiel: die Theorie der Matrix-Lie-Gruppen. Wir fragen, wie sehen wirklich kleine Lorentz-Transformationen aus? Nun, so sollten sie aussehen $\mathbf{\Lambda}=\mathbf{I}+\epsilon\mathbf{H},$ Wo $\mathbf{I}$ ist die Identitätsmatrix, die nichts tut, wenn sie mit irgendetwas anderem multipliziert wird, $\epsilon$ eine kleine reelle Zahl ist, die die Größe der Transformation steuert, und $\mathbf{H}$ repräsentiert die "Art" oder "Wesen" der Transformation. Setzen Sie das in die Definition ein $\mathbf{\Lambda}^T\boldsymbol\eta\mathbf{\Lambda}=\boldsymbol\eta$ und bekomme $\epsilon\boldsymbol\eta\mathbf{H}+\epsilon\mathbf{H}^T\boldsymbol\eta+\epsilon^2\mathbf{H}^T\boldsymbol\eta\mathbf{H}=0.$ Lass fallen $\epsilon^2$ term (wir interessieren uns nur für lineare Variationen/Variationen erster Ordnung) und neu anordnen zu $\mathbf{H}=-\boldsymbol\eta\mathbf{H}^T\boldsymbol\eta.$ Eliminieren Sie jetzt so viele Gleichungen wie möglich, um zu gelangen

H = [\begin{matrix} 0 & ξ_{X} & ξ_{j} & ξ_{z} \\ ξ_{X} & 0 & - θ_{z} & θ_{j} \\ ξ_{j} & θ_{z} & 0 & - θ_{X} \\ ξ_{z} & - θ_{j} & θ_{X} & 0 \end{matrix}] .

$\mathbf{H}=\begin{bmatrix}0&\xi_x&\xi_y&\xi_z\\\xi_x&0&-\theta_z&\theta_y\\\xi_y&\theta_z&0&-\theta_x\\\xi_z&-\theta_y&\theta_x&0\end{bmatrix}.$

Dies ist der Generator der Lorentz-Transformationen. Die verbleibenden Variablen sind nur diejenigen, für die Sie am Ende nicht auflösen. Wenn Sie Werte für sie einsetzen, können Sie eine Lorentz-Transformation mit der Exponentialmatrix erhalten $\mathbf{\Lambda}=\exp(\mathbf{H}).$ Indem Sie für alle bis auf einen Null einsetzen, können Sie verstehen, was jeder bedeutet. Ich habe sie also nach Funktion benannt: $\xi_x,\xi_y,\xi_z$ sind "Stromschnellen" für Boosts, bezogen auf Geschwindigkeiten durch $\xi=\operatorname{artanh}(\frac{v}{c})$ ), Und $\theta_x,\theta_y,\theta_z$ sind Drehwinkel.

Jetzt haben wir eine Möglichkeit, eine Formel für alle Boosts zu erstellen. Wenn Sie mit Geschwindigkeit steigern möchten $v_x,v_y,v_z$ , berechnen Sie zuerst die Gesamtgeschwindigkeit $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ und Schnelligkeit $\xi=\operatorname{artanh}(\frac{v}{c}).$ Finden Sie dann den Schnelligkeitsvektor $\xi_i=-v_i\frac{\xi}{v}.$ Schließen Sie diese Schnelligkeiten an $\mathbf{H}$ und nulle die räumlichen Rotationen. Diese Matrix hat folgende Eigenschaften:

\begin{aligned} H^{0} = ICH, \\ H^{2 N + 1} = ξ^{2 N} H, \\ H^{2 N + 2} = ξ^{2 N} H^{2} . \end{aligned}

$\begin{align}&\mathbf{H}^0=\mathbf{I},\\&\mathbf{H}^{2n+1}=\xi^{2n}\mathbf{H},\\&\mathbf{H}^{2n+2}=\xi^{2n}\mathbf{H}^2.\end{align}$ Diese sind nützlich, weil

\begin{aligned} Λ & = \exp (H) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{H^{k}}{k!} \\ = ICH + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{H^{2 k + 2}}{(2 k + 2)!} + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{H^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} \\ = ICH + \frac{H^{2}}{ξ^{2}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ξ^{2 k + 2}}{(2 k + 2)!} + \frac{H}{ξ} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{ξ^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} \\ = ICH + \frac{H}{ξ} Sünde ξ + \frac{H^{2}}{ξ^{2}} (cosch ξ - 1) . \end{aligned}

$\begin{aligned}\mathbf{\Lambda}&=\exp(\mathbf{H})=\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf{H}^k}{k!}\\&=\mathbf{I}+\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf{H}^{2k+2}}{(2k+2)!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf{H}^{2k+1}}{(2k+1)!}\\&=\mathbf{I}+\frac{\mathbf{H}^2}{\xi^2}\sum_{k=0}^\infty\frac{\xi^{2k+2}}{(2k+2)!}+\frac{\mathbf{H}}{\xi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\xi^{2k+1}}{(2k+1)!}\\&=\mathbf{I}+\frac{\mathbf{H}}{\xi}\sinh\xi+\frac{\mathbf{H}^2}{\xi^2}(\cosh\xi-1).\end{aligned}$ Dies gibt schließlich einen expliziten Ausdruck für die Lorentz-Transformationsmatrix

Λ

$\mathbf{\Lambda}$ einer bestimmten Geschwindigkeit zugeordnet.

Ausgedehnt in Bezug auf die Koordinaten und mit all dem vereinfachten hyperbolischen Trig,

\begin{aligned} T^{'} & = & γ T & + & - γ \frac{v_{X}}{C^{2}} X & + & - γ \frac{v_{j}}{C^{2}} j & - γ \frac{v_{z}}{C^{2}} z & , \\ X^{'} & = & - γ v_{X} T & + & (1 + (γ - 1) \frac{v_{X}^{2}}{v^{2}}) X & + & \frac{v_{X} v_{j}}{v^{2}} (γ - 1) j & + & \frac{v_{X} v_{z}}{v^{2}} (γ - 1) z & , \\ j^{'} & = & - γ v_{j} T & + & \frac{v_{X} v_{j}}{v^{2}} (γ - 1) X & + & (1 + \frac{v_{j}^{2}}{v^{2}} (γ - 1)) j & + & \frac{v_{j} v_{z}}{v^{2}} (γ - 1) z & , \\ z^{'} & = & - γ v_{z} T & + & \frac{v_{X} v_{z}}{v^{2}} (γ - 1) X & + & \frac{v_{j} v_{z}}{v^{2}} (γ - 1) j & + & (1 + \frac{v_{z}^{2}}{v^{2}} (γ - 1)) z \end{aligned} (γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}) .

$\begin{alignat}{10} t'&=&\gamma t&{}+{}&-\gamma \frac{v_x}{c^2}x&{}+{}&-\gamma \frac{v_y}{c^2}y&&-\gamma \frac{v_z}{c^2}z&,\\ x'&=&-\gamma v_xt&{}+{}&\left(1+(\gamma-1)\frac{v_x^2}{v^2}\right)x&{}+{}&\frac{v_xv_y}{v^2}(\gamma-1)y&{}+{}&\frac{v_xv_z}{v^2}(\gamma-1)z&,\\ y'&=&-\gamma v_yt&{}+{}&\frac{v_xv_y}{v^2}(\gamma-1)x&{}+{}&\left(1+\frac{v_y^2}{v^2}(\gamma-1)\right)y&{}+{}&\frac{v_yv_z}{v^2}(\gamma-1)z&,\\ z'&=&-\gamma v_zt&{}+{}&\frac{v_xv_z}{v^2}(\gamma-1)x&{}+{}&\frac{v_yv_z}{v^2}(\gamma-1)y&{}+{}&\left(1+\frac{v_z^2}{v^2}(\gamma-1)\right)z&\end{alignat}\\ \left(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right).$

Dieser Boost verursacht keine ungewollten Rotationen. Aber viel Glück beim Erinnern!

Buddha-Bock · Answer 3

Betrachten Sie den einfachen Fall eines einzelnen Trägheitsbeobachters, der allein im Raum sitzt, ohne zu beschleunigen.

Koordinaten wie $x, y, z,$ Und $t$ sind einfach Bezeichnungen für verschiedene Punkte/Ereignisse in der Raumzeit (wir nennen sie "Punkte", wenn es uns nur darum geht $x, y, z$ , und "Ereignisse", wenn uns das wichtig ist $x,y,z,t$ ). Wählen Sie die Beschriftungen auf bestimmte Weise aus, und sie haben praktische Eigenschaften, wie z. B. der (räumliche) Abstand zwischen zwei Punkten $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ . Es ist üblich, Koordinaten auszuwählen, die "orthonormal" sind, was im Grunde bedeutet, dass jede Koordinatenachse senkrecht (orthogonal) zu den anderen ist und eine Einheitsdistanz entlang einer Achse die gleiche Distanz entlang einer anderen Achse ist. Es macht die Abstandsregel, die ich oben gegeben habe, zum Funktionieren.

Da die Realität nicht in Bezug auf Koordinaten funktioniert, ist es für unseren einzelnen Beobachter möglich, mehrere verschiedene Koordinatensysteme zu haben und zu verwenden, je nachdem, was für ihn am bequemsten ist. Sie könnten zwei orthonormale Raumzeit-Koordinatensysteme mit unterschiedlichen Ursprüngen oder unterschiedlichen Raumachsen (solange sie in jedem Satz orthogonal und normalisiert sind) oder unterschiedliche "Parität" haben, und die beiden Systeme würden durch räumliche Rotationen miteinander in Beziehung stehen , Raumzeitübersetzungen und Reflexionen. Angesichts der Koordinaten $(x,y,z,t)_1$ eines Ereignisses im Koordinatensystem 1 könnte man leicht berechnen $(x,y,z,y)_2$ des Ereignisses im Koordinatensystem 2.

Das bedeutet, wenn unser einzelner Beobachter ein Objekt sieht, das sich mit a bewegt $v_x \neq 0, v_y \neq 0$ , dann steht unserem einzelnen Beobachter auch ein anderes Koordinatensystem zur Verfügung, das durch Rotation aus dem ersten entstanden ist, wo $v_x \neq 0, v_y = v_z = 0$ . Die Bewegungsgleichungen dieses Objekts sind in beiden Koordinatensystemen vollständig miteinander kompatibel.

Man könnte es sich auch als zwei relativ zueinander bewegungslose Beobachter vorstellen, die jeweils ihr eigenes orthonormales Koordinatensystem haben. Wenn Alice sieht und Ereignis an $(x,y,z,t)_{Alice}$ , sie kann Adam sagen, er solle ihn ansehen $(x,y,z,t)_{Adam}$ dasselbe Ereignis zu sehen.

Betrachten Sie nun Ihre Situation, Alice und Bob bewegen sich relativ zueinander. Die Lorenz-Transformation, wie sie normalerweise mit geschrieben wird $(x,y,z,t)_{Alice'} = (\gamma (x-vt),y,z,\gamma(tc^2 - vx)/c^2)_{Bob'}$ , geht bereits davon aus, dass sowohl Alice als auch Bob Rotationen und Translationen (und möglicherweise eine Spiegelung) auf ihr eigenes bevorzugtes Koordinatensystem angewendet haben, um ein Paar von Koordinatensystemen zu erhalten, die einen Ursprung (sowohl räumlich als auch zeitlich) und zum Zeitpunkt 0 alle drei Sätze teilen der Raumachse entsprechen.

Es ist durchaus sinnvoll, mit Koordinaten im System Alice zu beginnen, diese mithilfe von Rotationen und Translationen in Alice umzuwandeln, diese mithilfe eines Lorenz-Boosts in Bob umzuwandeln und dann schließlich in das Koordinatensystem Bob umzuwandeln, um zu sehen, wo Bob nach dem Ereignis suchen sollte.

Jede dieser Koordinatentransformationen ist eine unordentliche Berechnung. Um die Spezielle Relativitätstheorie zu unterrichten, kann viel Chaos vermieden werden, indem man nur mit Alice' und Bob' arbeitet - und vielleicht mit Charlie', der sich zufällig auf einem parallelen Kurs mit Alice' und Bob' befindet. Es wurde allgemein angenommen, dass die Rotationen und Translationen für die Physiker, die zuerst SR lernten, nichts Neues waren und daher nur nebenbei erwähnt werden mussten.

Lorentz-Transformationen mit zwei Raumdimensionen

PFUND

Connor Behan

PFUND

Summen

PFUND

Summen

Tachyon209

Tachyon209

Antworten (3)

Chirale Anomalie

Gewöhnliche Drehung

Schub

Komponieren von Lorentz-Transformationen

Bezüglich $A,B$ zu Geschwindigkeit

Perspektive

HTNW

Buddha-Bock

Was ist falsch an dieser Argumentation bezüglich der speziellen Relativitätstheorie?

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Ist die Relativität der Gleichzeitigkeit nur ein Wahrnehmungsfehler? [Duplikat]

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Was ist falsch daran, die beiden Formeln für Lorentzkontraktion und Zeitdilatation gleichzeitig zu verwenden?

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